Settimana 1: Sistemi di equazioni lineari, sistemi incompatibili, sistemi con soluzione unica, sistemi con infinite soluzioni dipendenti da uno o più parametri. Interpretazione geometrica nel caso di due o tre incognite. Vettori di Rⁿ e matrici.
Sistemi a scalini e loro risoluzione, algoritmo di Gauss: riduzione di una matrice qualsiasi ad una matrice a scalini mediante operazioni di riga.

Settimana 2: Esempi di riduzione a scalini di matrici anche dipendenti da parametri. Teorema: un sistema lineare è compatibile se e solo se in una (quindi in tutte) riduzione a scalini della sua matrice completa non cadono pivot nella colonna dei termini noti. In questo caso la soluzione è unica se ci sono tanti pivot quante incognite, o dipendente da un numero di parametri pari alla differenza del numero delle incognite e dei pivot se questa è maggiore di zero. (Teorema di Rouché-Capelli).Definizione di rango di una matrice qualsiasi come numero di pivot di una matrice a scalini equivalente per righe.
Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare. Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna. Prodotto riga per colonna di matrici. Primi esempi. Non commutatività del prodotto di matrici. Matrice identità e matrici (non) invertibili.

Settimana 3: L'inversa di una matrice 2x2, il determinante di una matrice 2x2 e la non nullità del determinante come condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità. Il teorema di Cramer nel caso 2x2. Determinante per matrici quadrate di qualsiasi ordine. Teorema di Laplace, formula di Binet e teorema di Cramer. Una matrice è inveritbile se e solo se il determinante è diverso da zero. Formula per la matrice inversa, complemento algebrico di un elemento e formula per l'inversa come trasposta della matrice dei complementi algebrici. Le operazioni di riga come moltiplicazione per opportune matrici (esercizio). Calcolo del determinante con l'algoritmo di Gauss. Calcolo dell'inversa con l'algoritmo di Gauss, Esempi. Vettori di Rⁿ (e matrici) linearmente dipendenti. Un insieme di vettori è linearmente dipendente se e solo se un vettore si scrive come combinazione lineare degli altri.

Settimana 4: Calcolo dell'inversa di una matrice con l'algoritmo di Gauss. Definizione di minore di una matrice e definizione del rango come ordine massimo di un minore con determinante non nullo. Proprietà. Esempi di calcolo di rango di matrici (anche dipendenti da parametri). Il teorema degli orlati (senza dimostrazione). Calcolo del rango con l'algoritmo di Gauss. Equivalenza delle definizioni di rango come numero di pivot di una forma a scalini e massimo ordine di un minore con determinante non nullo. Esempi. Il teorema di Rouché-Capelli rivisitato. Criterio del rango. Teorema: il rango di una matrice è il numero massimo di righe o di colonne linearmente indipendenti. Proprietà degli insiemi delle soluzioni di sistemi lineari omogenei e non omogenei: Le soluzioni di un sistema omogeneo sono chiuse rispetto a somma e prodotto per uno scalare, quelle di un sistema non omogeneo sono somma di una soluzione particolare e della soluzione generale del sistema omogeneo associato.

Settimana 5: Definizione di spazio vettoriale e primi esempi. Indipendenza lineare, generatori e basi. Lo spazio dei polinomi non è finitamente generato. Caratterizzazione delle basi di Rⁿ utilizzando rango e teorema di Rouché-Capelli. Esistenza di una base in uno spazio finitamente generato qualsiasi. Coordinate rispetto ad una base e loro unicità. Sottospazi, condizioni necessarie e sufficienti per essere un sottospazio. Sottospazio generato da k vettori, esempi di base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo ricavate dalla soluzione parametrica. Lemma di Steinitz (un insieme di vettori linearmente indipendenti non può avere più elementi di un insieme di generatori). Teorema due basi di un qualsiai spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Teorema: k vettori sono linearmente indipendenti (generano) se e solo se le coordinate sono linearmente indipendenti (generano). I sottospazi dei polinomi di grado minore di n.

Settimana 6: La base canonica dello spazio delle matrici, esempi di sottospazi di matrici. Calcolo di equazioni cartesiane di un sottospazio di Rⁿ. Intersezione e somma di sottospazi, esempi di calcolo dell'intersezione. L'unione di generatori genera la somma di due sottospazi. Esempi di come l'unione di due basi dei sottospazi non sia in generale una base della somma in presenza di intersezione non banale. Formula di Grassmann. Esempi di calcolo dell'intersezione con tre metodi diversi. Esempi in spazi di polinomi e matrici. Somma diretta, la somma è diretta se ogni vettore si scrive in modo unico come somma di un vettore di ciascun sottospazio.

Settimana 7: Ripasso sulle applicazioni di insiemi: definizione, iniettività, suriettività, immagine controimmagine. Applicazioni lineari. Primi esempi. Esempio e teorema: tutte le applicazioni lineari Rⁿ in R^m si scrivono come moltiplicazione per una matrice, la matrice canonica. Teorema: Scelti in modo arbitrario vettori del codominio, esiste sempre ed è unica un'applicazione lineare che assume quei valori su una base qualsiasi del dominio. Esempi di determinazione dell'applicazione conoscendo i suoi valori su una base. Esempi di applicazioni lineari su spazi di funzioni, polinomi e matrici. Isomorfismi. Le coordinate sono un isomorfismo e due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Matrice associata a f rispetto a una base del dominio e a una base del codominio. Esempi.

Settimana 8: Matrice di passaggio da una base ad un altra, come cambiano le coordinate di un vettore rispetto a due basi diverse. Endomorfismi, uso della matrice di passaggio per calcolare la matrice di un endomorfismo rispetto ad un'altra base. Matrici simili. Teorema matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili. Esempi. Autovalori e autovettori di endomorfismi, esempi (funzione esponenziale in spazi funzionali), polinomio caratteristico. Teorema: matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Autospazi. Esempi di calcolo degli autovalori e degli autospazi di un endomorfismo (o di una matrice). Matrici diagonalizzabili (e non). Autovettori associati ad autovalori distinti sono indipendenti. (Nota lezioni del 18 e del 19 Novembre cancellate per malfunzionamento dispositivi aula)

Settimana 9: Molteplicità geometrica ed algebrica di un autovalore. Primo e secondo criterio di diagonalizzabilità. Esempi. Il prodotto scalare standard di Rⁿ e le sue proprietà. Disuguaglianza di Scwhartz (senza dimostrazione), norma di un vettore e angolo tra due vettori. Basi ortonormali. Esempi. Complemento ortogonale di un sottospazio esempi di calcolo del complemento ortogonale. Teorema: la somma di un sottospazio e del suo complemento è diretta ed è tutto lo spazio. Conseguenze. Proiezione ortogonale su un sottospazio, definizione e calcolo usando i coefficienti di Fourier rispetto ad una base ortonormale. Algoritmo di Gram-Schmidt. Esempi. Matrici ortogonali e proprietà. (Nota: Lezione a distanza il 27/11 per recuperare quella del 18/11)

Settimana 10: Endomorfismi simmetrici, definizione e proprietà equivalenti. Tutti gli autovalori di un endomorfismo simmetrico sono reali (senza dimostrazione). Gli autospazi di un endomorfismo simmetrico sono a due a due ortogonali. Teorema spettrale. Esempi di diagonalizzazione di un endomorfismo simmetrico rispetto ad una base ortonormale. Cenni sugli spazi affini di dimensione qualsiasi: definizione e proprietà. Spazio generato da n punti. Equazioni parametriche e cartesiane di uno spazio affine. Geometria del piano e dello spazio, vettori geometrici, vettori equipollenti, gli spazi vettoriali Vⁿ_O dei vettori geometrici applicati in un punto:struttura di spazio vettoriale, dimensione riferimenti affini e cartesiani. Coordinate di un vettore e di un punto rispetto ad un riferimento.Struttura affine. Equazioni parametriche di rette nel piano e nello spazio e di piani nello spazio. Equazioni cartesiane di rette nel piano e piani nello spazio (sottospazi affini di codimensione 1). Condizione di allineamento ed equazioni cartesiane di rette nello spazio. Parallelismo e intersezione di rette e rette, rette e piani e di piani e piani . (Nota: Lezione a distanza il 4/12 per recuperare quella del 19/11)

Settimana 11: Ancora sull'intersezione di rette: nello spazio rette sghembe, fascio improprio di piani parallelo a due rette sghembe. Vari esempi. Configurazioni di piani e rette: fasci propri ed impropri di piani e rette in un punto, fascio di piani con asse una retta, equazioni ridotte della retta generica per un punto nello spazio. Esempi. Retta passante per un punto e incidente due rette sghembe, metodo del punto mobile e metodo dei piani contenenti una retta e un punto. Prodotto scalare geometrico, basi ortonormali di vettori geometrici, isometria con Rⁿ con il prodotto standard. Lunghezza di vettori, angolo tra vettori e distanza tra due punti.

Settimana 12: Condizioni di ortogonalità tra retta e retta (nel piano e nello spazio), tra retta e piano e tra piano e piano. Prodotto vettoriale. Esempi. Applicazione al calcolo dei parametri direttori di una retta in forma cartesiana. Distanza di sottoinsiemi qualsiasi. Proiezioni ortogonali punto su retta nel piano e nello spazio, punto su piano, retta su piano. Esempi con vari metodi di calcolo. La proiezione su un piano vettoriale coincide con la definizione algebrica. Distanze: punto retta, punto piano, distanze di rette e piani paralleli. Distanza di due rette sghembe: esistenza della retta di minima distanza esempi di calcolo con diversi metodi. Circonferenze e sfere. Asse di un segmento nel piano e nello spazio. Circonferenza per tre punti non allineati del piano e sfera per quattro punti non complanari del piano. Equazioni della circonferenza. Tangenza e ortogonalità al raggio.

Settimana 13: Equazioni della sfera. Esempi. Cenni sulle forme bilineari simmetriche: Rappresentazione con matrici simmetriche, la matrice associata a una forma rispetto ad una base, formula per il cambiamento di base, relazione di congruenza tra matrici. Forme quadratiche associate carattere di definizione (Definita e semidefinita positiva o negativa, indefinita). Esempi. Rappresentazione di polinomi omogenei di secondo grado tramite forme quadratiche. Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Segnatura di una forma. La segnatura è il numero di autovalori positivi e negativi. Teorema: due matrici sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura (senza dimostrazione). Esempi. Applicazione all'analisi: comportamento del grafico di una funzione differenziabile in un intorno di un punto stazionario. Applicazione allo studio delle coniche: matrice associata a una conica, il tipo di conica è determinato dalla segnatura della parte principale.