Settimana 1: (Lunedi nessuna lezione). Sistemi di equazioni lineari, sistemi incompatibili, sistemi con soluzione unica, sistemi con infinite soluzioni dipendenti da uno o più parametri. Interpretazione geometrica nel caso di due o tre incognite. Vettori di Rⁿ e matrici. Sistemi a scalini e loro risoluzione.

Settimana 2: (iniziato tutoraggio) Operazioni elementari di riga e algoritmo di Gauss. Teorema: un sistema lineare è compatibile se e solo se in una (quindi in tutte) riduzione a scalini della sua matrice completa non cadono pivot nella colonna dei termini noti. In questo caso la soluzione è unica se ci sono tanti pivot quante incognite, o dipendente da un numero di parametri pari alla differenza del numero delle incognite e dei pivot se questa è maggiore di zero. Esempi di riduzione a scalini (Teorema di Rouché-Capelli).Definizione di rango di una matrice qualsiasi come numero di pivot di una matrice a scalini equivalente per righe.
Somma di matrici e prodotto di uno scalare e una matrice. Combinazioni lineari di matrici e vettori. Prodotto riga per colonna di matrici. Esempi e proprietà del prodotto riga per colonna. Notazione matriciale per i sistemi.

Settimana 3: Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice identità. Matrici invertibili. Calcolo dell'inversa di una matrice 2x2, definizione di determinante e teorema di Cramer nel caso 2x2. Fromula generale per il determinante, teorema di Laplace, formula di Binet e teorema di Cramer nel caso generale.. Formula generale per l'inversa. Esempi. Esempi di calcolo dell'inversa con l'algoritmo di Gauss, effetto sul determinante delle operazioni elementari e calcolo del determinante con l'algoritmo di Gauss.

Settimana 4: Minori di una matrice. Rango come ordine massimo di un minore con determinante non nullo. Esempi. Teorema degli orlati ed esempi. Calcolo del rango con l'algoritmo di Gauss. Il rango è uguale al numero di pivot in una qualsiasi riduzione a scalini della matrice (quindi matrici equivalenti per righe hanno lo stesso numero di pivot). Teorema di Rouché Capelli. Il rango è uguale alla cardinalità di un insieme massimale di righe o colonne linearmente indipendenti della matrice. Per i sistemi lineari omogenei una combinazione lineare di soluzioni è ancora una soluzione.

Settimana 5: Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema non omogeneo. Spazi vettoriali, definizione e primi esempi. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di uno spazio vettoriale qualsiasi. Rango ed indipendenza lineare di vettori di Rⁿ . Generatori, spazi finitamente generati. Esempio : i polinomi di grado qualsiasi formano uno spazio non finitamente generato. Basi, definizione, esempi e prime proprietà. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Sottospazi, definizione ed esempi. Una base del sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo ottenuta da una soluzione parametrica. Sottospazio generato da k vettori. Teorema ogni spazio finitamente generato ammette una base.

Settimana 6: Notazione matriciale per sostituzioni di identità vettoriali. Esempi. Lemma di Steinitz (un insieme di vettori linearmente indipendenti non può avere più vettori di un insieme di generatori). Teorema basi diverse di uno stesso spazio hanno lo stesso numero di vettori. Esempi. Estensione di un insieme linearmente indipendente a base. Teorema vettori di uno spazio V sono linearmente indipendenti o generano se e solo se le loro coordinate rispetto ad una base qualsiasi di V sono indipendenti o generano. Esempi. Matrice di passaggio tra due basi e cambiamento delle coordinate, proprietà ed esempi.

Settimana 7: Coordinate rispetto ad una base. Equazioni cartesiane di un sottospazio. Sottospazio somma e sottospazio intersezione. Esempi. Formula di Grassmann. Somma diretta e proprietà. Esempi di calcolo di intersezione e somma.

Settimana 8: Ripasso sulle applicazioni di insiemi. Applicazioni lineari di spazi vettoriali definizione, prime proprietà ed esempi. Le applicazioni lineari da R^m in Rⁿ, matrice canonica. Teorema: ogni applicazione lineare è univocamente determinata dai valori assunti su una base. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base del dominio ed una del codominio. Esempi. Nucleo ed immagine di un' applicazione lineare, teorema della dimensione. Isomorfismi di spazi vettoriali, classificazione: due spazi finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

0

Settimana 9: Endomorfismi, autovettori e autovalori. Esempi. Matrice di un endomorfismo rispetto ad una base. Definizione di matrici simili. Due matrici rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse se e solo se sono simili. Polinomio caratteristico e sua invarianza per matrici simili. Autospazio associato ad un autovalore. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, la prima è sempre maggiore o uguale alla seconda. Endomorfismi (e matrici) diagonalizzabili, esempi e controesempi. Primo e secondo criterio di diagonalizzabilità. Esempi. Definizione del prodotto scalare standard di Rⁿ

Settimana 10: Prime proprietà del prodotto scalare standard di Rⁿ e della norma di un vettore. Diseuguaglianza di Schwartz (senza dimostrazione) e angolo tra due vettori. Basi ortonormali, definizione ed esempi, coefficienti di Fourier. Complemento ortogonale di un sottospazio, proprietà. Ogni vettore di Rⁿ si scrive in modo unico come somma di un vettore di un sottospazioe ed un vettore del complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio E, definizione e calcolo utilizzando una base ortonormale di E. Ortogonalizzazione di Gram Schmidt. Matrici ortogonali. Endomorfismi simmetrici. Teorema spettrale. Esempi. Definizione di forma bilineare.

Settimana 11: (un giorno in meno: mercoledi 8/12) Forme bilineari: forma indotta da una matrice (simmetrica) matrice di una forma rispetto alla base canonica. Teorema ogni forma bilineare è determinata in modo unico dai valori assunti su tutte le possibili coppie di elementi di una base. Matrice associata rispetto ad una base qualsiasi. Matrici congruenti. Due matrici rappresentano la stessa forma rispetto a basi diverse se e solo se sono congruenti. Esempi. Forme quadratiche. Carattere di definizione di una forma. Esempi. Teorema di Sylvester e segnatura di una forma. Applicazione all'analisi : la matrice Hessiana di una funzione differenziabile di due variabili reali e i punti stazionari. Cenni sugli spazi affini: definizione, definizione di parallelismo, condizioni di appartenenza di un punto e inclusione di un sottospazio in un altro. Sottospazio generato da n+1 punti. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio. Esempi.

Settimana 12: Il piano e lo spazio come spazi affini di dimensione 2 e 3: Vettori geometrici, vettori equipollenti, la struttura di spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto O. Sistemi di riferimento affini, coordinate di un vettore. Geometria affine: Condizioni di allineamento e complanarità di punti. Equazioni parametriche e cartesiane (e come passare dalle une alle altre) di rette del piano e rette e piani nello spazio. Condizioni di incidenza e parallelismo di rette e rette, rette e piani, piani e piani. Rette sghembe, il fascio improprio di piani individuato da due rette sghembe. Esempi. Stella di rette, fasci di rette stella di piani. Il prodotto scalare di vettori geometrici. Riferimenti cartesiani e isometria con Rⁿ munito del suo prodotto standard. Distanze e angoli. Definizione di distanza di due insiemi. Proiezione di un punto del piano su una retta e distanza punto retta. Prodotto vettoriale. Condizioni di perpendicolarità tra rette e rette, rette e piani e piani e piani dello spazio. Esempi.

Settimana 13: (Lezioni concluse mercoledi 22/12) Proiezioni e distanze nello spazio punto su retta, punto su piano e retta su piano. Distanza di due rette sghembe, punto mobile e altri metodi di calcolo. Esempi. Asse di un segmento nel piano e nello spazio, circonferenze e sfere: unica circonferenza per tre punti non allineati, unica sfera per quattro punti non complanari. Equazioni di sfera e circonferenza tangenza di piani e rette, circonferenze nello spazio come intersezione di un piano e una sfera.