Università
La Sapienza
Facoltà di
Ingegneria
Corso
di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Programma
del Corso di Geometria
Primo
Modulo
AA
2001-2002
Prof.
S. Capparelli
Numeri
Complessi.Complesso
coniugato. Operazioni sui complessi. Modulo di un numero complesso. Forma
trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-esime di un
numero complesso.
Insiemi
e loro proprietà. Generalità.
Relazioni di ordine e di equivalenza. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni
iniettive, suriettive, biunivoche. Applicazioni
invertibili.
Vettori,
n-ple ordinate, matrici. Vettori
del piano e dello spazio. Nozione di spazio vettoriale. Esempi.
Isomorfismi j
e y tra
V02 e R2 e tra V03
e R3 . Matrici. Spazio vettoriale. Mm,n(R) .
Prodotto tra matrici e sue proprietà. Matrici invertibili. Matrice trasposta.
Invertibilità di una matrice 2x2.
Sistemi
Lineari. Generalità.
Operazioni elementari. Riduzione in forma a gradini. Pivot. Rango di una
matrice. Matrici non singolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di
Rouchè-Capelli. Proprietà delle soluzioni di un sistema
lineare.
Matrici
e determinanti.
Dipendenza e indipendenza lineare in Rn
,V02 , V03 . Determinante di una
matrice quadrata. Caso della matrice 2x2: vari significati e applicazioni della
nozione di determinante. Condizione di allineamento di due punti nel piano.
Definizione ricorsiva di determinante. Primo Teorema di Laplace e proprietà dei
determinanti. Determinante di Vandermonde. Calcolo del determinante tramite il
metodo di eliminazione di Gauss. Matrici invertibili. Formula della matrice
inversa. Varie nozioni equivalenti all’invertibilità di una matrice. Il teorema
del rango. Definizioni equivalenti di rango di una matrice. Teorema di
Cramer.
Alcune
applicazioni geometriche. Equazioni
cartesiane di retta. Rette parallele e incidenti. Fascio di rette. Condizione di
appartenenza ad uno stesso fascio. Condizione di perpendicolarità tra rette.
Asse di un segmento. Circonferenza. Curve piane. Ellisse. Iperbole. Parabola.
Equazioni canoniche. Nozione generale di conica. Coniche non degeneri.
Classificazione delle coniche (senza dimostrazione). Altre curve piane
notevoli.
Geometria
dello spazio.
Equazioni cartesiane di piani. Condizione di complanarità di quattro punti.
Condizione di parallelismo tra piani. Equazioni cartesiane di una retta nello
spazio. Fascio di piani. Condizioni di perpendicolarità. Equazioni parametriche
di retta. Parametri direttori di una retta. Condizione di parallelismo tra due
rette. Rette sghembe. Condizione di parallelismo retta-piano. Distanza tra due
rette sghembe. Retta di minima distanza. Schiere di rette sghembe. Cenni sulle
quadriche. Sfere.
Prodotto
scalare, vettoriale, misto. Definizioni.
Proprietà. Distanza punto-retta nel piano. Distanza punto-piano nello spazio.
Area del parallelogramma. Significato geometrico del prodotto
misto.
Libro
di testo: Paolo Maroscia, Introduzione alla Geometria e all’Algebra Lineare,
Zanichelli, 2000
Altri
testi consigliati:
R.
Courant, H. Robbins, Che cos'e'la matematica,
Bollati-Boringhieri
G. Vaccaro, A. Carfagna, L. Piccolella,
Lezioni di Geometria e Algebra Lineare, Zanichelli, 1995
G.
Vaccaro, A. Carfagna, L. Piccolella, Complementi ed Esercizi di Geometria e
Algebra Lineare, Zanichelli, 1995
A.Bichara,
A. Del Fra, Geometria,L.S.D., 2000
M.
Bordoni, Algebra Lineare, Soc. Ed. Esculapio, Bologna,
2001
M.
Abate: Algebra Lineare, McGraw-Hill,
2000