Diario delle lezioni (a.a. 2011 - 2012)
Mar. 04-10 :
Presentazione del corso. Sistemi lineari. Matrici (definizione). Matrice - completa - relativa a un sistema (cenno). Interpretazione geometrica di sistemi lineari in due incognite. Studio di rette nel piano coordinato. Coefficiente angolare e quota di una retta. Vettori geometrici e vettori numerici. Vettori i e j relativi agli assi. Vettore direttore di una retta (cenno). Parallelismo di rette e sistemi impossibili. Eliminazione del termine noto e traslazione di rette.
NOTA: Per l'es. 55, "solo terzo e quarto" si riferisce all'es. del dott. Vietri (quindi il V55).

Gio. 06-10 :
Equazioni parametriche di una retta nel piano coordinato. Vettori geometrici; somma di due vettori (regola del parallelogramma); prodotto di un vettore per un numero. Vettori direttori e vettori perpendicolari a una retta. Versori. Giacitura (retta parallela a una retta data, ma passante per l'origine). Formulazione vettoriale delle equazioni parametriche. Lunghezza di vettori geometrici. Distanza di due punti nel piano. Equazione cartesiana di una retta e passaggio alla forma parametrica. Viceversa. Vettore associato a due punti (gli estremi del vettore). Costruzione di un'equazione cartesiana a partire da due punti di passaggio della retta (similitudine di triangoli opportuni).
NOTA: è stato assegnato anche l'esercizio 50 del prof. Del Fra.

Ven. 07-10 :
Vettori (geometrici) liberi e vettori applicati. Costruzione di un'equazione cartesiana per una retta di cui sono noti un punto di passaggio e un vettore parallelo. Determinante di matrici quadrate di ordine 2 (cioè di tipo 2 per 2); suo utilizzo per scrivere sinteticamente le equazioni cartesiane di rette e, più in generale, per stabilire se due vettori sono paralleli (determinante nullo, per la matrice le cui righe sono i due vettori dati). Il determinante elimina ad es. il problema del denominatore, nel caso di componenti nulle. Allineamento di tre punti e corrispondente determinante nullo (costruzione di due vettori a partire dei tre punti). Fasci propri di rette. Utilizzo di due parametri al fine di coprire tutte le rette possibili. Relazione tra il classico coefficiente angolare e i due parametri. Formula della distanza punto-retta (per adesso, senza dim.). Equazioni parametriche particolari, per rette parallele all'asse x o all'asse y.
NOTA: Nel V54, ad-bc è il determinante della matrice di tipo 2 per 2, relativa alle prime due equazioni (non c'è alcun legame con le a e b precedenti, che sarebbe bene denotare in modo diverso, ad es. con A e B). Vedere anche l'es. V52.

Mar. 11-10 :
Esercizi vari. Punto mobile su una retta (utilizzo delle equazioni parametriche). Notazione vettoriale per le equazioni parametriche. Fasci propri di rette. L'equazione generale di un fascio proprio - con due parametri - a partire da due rette date, esprime tutte le rette passanti per l'intersezione tra le rette date. Sostituendo 1 (o un numero qualunque non nullo) al posto di un parametro, si ritorna alla versione semplificata, dove però manca una retta candidata. Si può utilizzare benissimo un solo parametro, ricordando che la soluzione potrebbe tuttavia essere data proprio dalla retta mancante! Fascio (improprio) di rette costituito da tutte le rette parallele a una data retta (il termine noto diviene parametro). Punto medio tra due punti.
NOTA: siamo pronti per iniziare l'argomento, centrale, degli spazi vettoriali: vettori generici, dipendenza lineare, generatori, basi. Contemporaneamente inizieremo a studiare le matrici e le loro proprietà (cap. 2, argomenti non ancora assegnati). I temi saranno spesso legati alla risoluzione di sistemi lineari.

Gio. 13-10 :
Coseni direttori. Approfondimenti sui fasci propri di rette (parametri proporzionali ai due iniziali generano la medesima retta del fascio). Nuovo argomento, sempre legato ai sistemi lineari. Ricerca di eventuali combinazioni lineari di equazioni, al fine di risolvere un dato sistema lineare eliminando un'equazione. Esempio di sistema impossibile, per la presenza di un termine aggiuntivo nella combinazione lineare. Combinazioni lineari di vettori numerici e di vettori in generale. Dipendenza lineare. Proporzionalità di vettori. Il ruolo dello zero nelle combinazioni lineari. Utilizzo di sistemi lineari per stabilire se un vettore numerico è combinazione lineare di altri vettori, e per esibire un'eventuale combinazione. Spazi vettoriali. Spazi di tipo R^n (prodotto cartesiano di n copie di R). Esempi: polinomi di grado non superiore a 3, vettori geometrici applicati nell'origine, matrici di tipo fissato (ad es. 2 per 3). Verifica di alcune delle 8 proprietà (assiomi di spazio vettoriale).
NOTA: il tutoraggio inizia domani. Per ing. dell'informazione, l'aula è la 2, non la 15. Per gli altri due corsi di laurea, l'aula resta la 15.

Ven. 14-10 :
Teorema sulla dipendenza lineare e le relative combinazioni lineari dei vettori coinvolti. Vettori linearmente indipendenti (con tali vettori non è possibile ottenere il vettore 0 mediante una combinazione lineare, a meno che non si utilizzino tutti coefficienti nulli). Sottospazio generato da alcuni vettori. Insieme minimale di generatori (base, da approfondire). Esempi di basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi in generale (spazi vettoriali contenuti o al limite uguali a un dato spazio vettoriale). Sostituzione di 1, 0, 0, ... , poi 0, 1, 0, 0, ... , ecc. nei parametri di un dato insieme, es. {(a+b,2b,a-c,3c)}, per ottenere gli eventuali generatori di tale insieme che risulta così un sottospazio. Esempi di sottospazi di R^n e di insiemi che non sono sottospazi. Tre vettori geometrici 3-dimensionali complanari (applicati ad es. in O) sono linearmente dipendenti, e viceversa. Essi possono generare un sottospazio 2-dimensionale contenuto in quello 3-dimensionale di tutti i vettori geometrici applicati in O. Uno di questi vettori è inutile, al fine della costruzione del piano vettoriale (2-dimensionale). Similmente, possono generare una retta immersa nello spazio.

Mar. 18-10 :
Esercizi vari. Equivalenza delle definizioni di base: insieme minimale di generatori, insieme massimale di vettori lin. indipendenti, insieme di generatori lin. indipendenti (ad esempio - esercizio - la prima def. implica la terza). Sottospazi definiti mediante leggi implicite o mediante parametri (es. (a,b,a+b) con a,b reali). Esempi di sottoinsiemi di R^n che non sono sottospazi. Per stabilire se un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio, basta controllare se vale la chiusura rispetto alla somma e al prodotto esterno (infatti gli 8 assiomi risulteranno automaticamente validi) - cenno della dim. nella prossima lezione. La dimensione è un concetto ben definito, perché tutte le basi di un dato spazio vettoriale hanno il medesimo numero di vettori - cenno della dim. nella prossima lezione. Base canonica di R^n .

Gio. 20-10 :
Approfondimenti sulle varie definizioni di base. Teorema sull'invarianza della cardinalità delle basi (cenno della dim.). La dimensione di R^n è n perché conosciamo almeno la base canonica, che consiste appunto di n vettori. Coordinate di un vettore rispetto a una data base. Teorema sull'unicità delle coordinate. Esempio geometrico di coordinate non uniche, nel caso di tre generatori linearmente dipendenti (vettori del piano). Riduzione a scala per trasformare e semplificare i generatori (righe) di un dato sottospazio di R^n . Operazioni elementari e loro reversibilità. Riduzione a scala per semplificare le equazioni di un sistema lineare, procedendo poi con la risoluzione a ritroso.
NOTA: la dimostrazione della proprietà di chiusura per i sottospazi verrà fornita presumibilmente martedì prossimo, nella forma di esercizio.

Ven. 21-10 :
Sistemi lineari e riduzione a scala. Piloni. Rango di una matrice (per piloni). Sistemi impossibili. Sistemi con soluzione parametrica e simbolo "infinito alla k" . Sistemi omogenei (da dimostrare: lo spazio delle soluzioni è un sottospazio; per ora abbiamo visto un esempio in R^4). Teorema di Rouché-Capelli, versione con rango per piloni.

Mar. 25-10 :
Esercizi vari. Dimostrazione: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano un sottospazio. Dimostrazione (cenno): le due proprietà di chiusura sono sufficienti per stabilire se un dato sottoinsieme è un sottospazio. Sottospazi di matrici. Risoluzione di sistemi lineari mediante il metodo di Gauss (riduzione a scalini). Matrici (quadrate) simmetriche. Trasposta di una data matrice. Vettori verticali (trasposti di vettori orizzontali). I vettori sono infatti un caso particolare di matrici. Prodotto di matrici compatibili. Formalismo matriciale per i sistemi lineari. 

Gio. 27-10 :
Matrice trasposta (formalizzazione), matrici triangolari, diagonali, identità. Il prodotto di matrici non è in generale commutativo; inoltre due matrici non nulle possono dare una matrice nulla. Matrice incompleta e completa di un sistema lineare. Utilizzo del simbolismo matriciale per i sistemi lineari (ad es. abbiamo ri-dimostrato che le soluzioni di un sistema omogeneo costituiscono un sottospazio). Rango per righe (massimo numero di righe lin. indip.) e rango per colonne; essi coincidono col rango per piloni (cenno della dimostrazione: il rango per righe è la dimensione del sottospazio generato dalle righe, ma tale sottospazio è generato anche dalle righe della matrice ridotta a scalini, come avevamo osservato precedentemente; ora, i piloni fanno sì che le relative righe siano lin. indip. . Per ora non dimostriamo l'equivalenza col rango per colonne.). Teorema di Rouché-Capelli, con le nuove definizioni di rango, e introducendo le matrici incompleta e completa. Determinante (primo teorema di Laplace, per la definizione ricorsiva del determinante). Complementi algebrici.

Ven. 28-10 :
Proprietà del determinante: linearità (distributività) rispetto alle righe o alle colonne, cambiamento di segno in caso di scambio di righe o colonne (secondo teorema di Laplace, equivalente all'annullamento del determinante se vi sono due righe o colonne uguali), determinante di matrici triangolari. Come conseguenza della linearità e del secondo teorema di Laplace, il determinante di una matrice è nullo se le righe (o le colonne) sono linearmente dipendenti. Calcolo del determinante per mezzo della riduzione a scala. Se una riga viene rimpiazzata da un suo multiplo - più eventuali combinazioni di altre righe - il determinante viene semplicemente moltiplicato per lo stesso fattore - quindi le altre righe non hanno alcun effetto. Regola di Cramer per sistemi quadrati con determinante non nullo (da dimostrare, una volta introdotta la matrice inversa). Risoluzione di sistemi quadrati in vari modi. 

Gio. 03-11 :
Matrice inversa. Teorema di Binet. Le matrici con determinante nullo non hanno inversa. Utilizzo della matrice inversa per sistemi lineari (in sintesi, la regola di Cramer). Regola di Cramer parametrica. Sottomatrici e minori. Rango per minori. Versione del teorema di Rouché-Capelli con rango per minori. Potenziamento della regola di Cramer per qualunque sistema lineare; le equazioni da eliminare corrispondono alle righe non coinvolte nel minore (non nullo) di ordine massimo trovato.
NOTA: Nella prossima lezione vedremo un cenno della dimostrazione dell'equivalenza delle tre, anzi quattro (nota del 4-11) definizioni di rango (abbiamo tutti gli ingredienti, dobbiamo soltanto metterli insieme). Martedì prossimo dimostreremo - facilmente - anche il teorema di Rouché-Capelli, versione "rango per colonne".
NOTA: Attenzione agli errori rilevati nell'errata corrige presente sul sito dall'inizio del corso (ad es. gli errori a pag. 75).

Ven. 04-11 :
Equivalenza delle quattro definizioni di rango (piloni, righe, colonne, minori): cenno della dim. (le operazioni elementari preservano sia la dimensione del sottospazio delle righe (o delle colonne) che la nullità o meno dei vari minori. Risoluzione di sistemi utilizzando il rango per minori e la formula di Cramer. Se una matrice (quadrata) ha determinante nullo allora le sue righe sono linearmente dipendenti (il viceversa è, invece, una proprietà dei determinanti studiata precedentemente). Teorema degli orlati.

Prima di affrontare la geometria in tre dimensioni restano alcuni argomenti legati al rango, ai sistemi, alle matrici: doppia riduzione a scala per la matrice inversa; risoluzione dell'esercizio 27; dimostrazione - semplice - del teorema di Rouché-Capelli, versione rango-per-colonne; approfondimento sul teorema degli orlati; DISCUSSIONI DI SISTEMI LINEARI CON PARAMETRO (qui apprezzeremo ancora di più il determinante e i minori!).   
Martedì prossimo ed eventualmente venerdì 11 tratteremo tali argomenti. Giovedì 10 cominceremo lo studio degli enti geometrici in tre dimensioni.

Mar. 08-11 :
Esercizi vari. Teorema degli orlati (senza dim.). Teorema di Rouché-Capelli e sistemi lineari. Discussioni di sistemi con parametro, utilizzando il rango per minori. Studio della dimensione di sottospazi generati da vettori con parametro. Metodo di Sarrus (in alternativa al metodo di Laplace, solo per determinanti di ordine 3).

Gio. 10-11 :
Geometria in tre dimensioni. Spazio coordinato. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di un piano. Funzioni di due variabili. Costruzione di un piano a partire da un'equazione cartesiana (esplicitando una variabile come funzione delle altre due). I piani passanti per l'origine sono sottospazi (giaciture) di dimensione 2, purché i loro punti si interpretino come vettori. Ricerca di una base di una data giacitura (metodo consueto, dell'1 e degli 0). Costruzione di un'equazione cartesiana di un piano a partire da punti di passaggio e/o vettori paralleli (mediante il determinante - dipendenza lineare di tre vettori opportuni, cioè complanarità di quattro punti opportuni - o calcolando i coefficienti a, b, c, d della forma generica ax+by+cz+d=0 con un opportuno sistema lineare che sfrutta le ipotesi date). Piani particolari (equazioni senza alcune incognite). Nelle giaciture i vettori e i punti si identificano, mentre la presenza del termine noto trasla la giacitura e fa perdere la proprietà di sottospazio; come conseguenza, i punti non corrispondono più ai vettori paralleli al piano; i vettori paralleli a un dato piano annullano la parte omogenea dell'equazione, senza termine noto, infatti appartengono - come punti - alla giacitura.

NOTA: domani (venerdì 11) l'attività di tutoraggio è sospesa; vedere il sito.

Ven. 11-11 :
Due piani incidenti costituiscono una retta, ottenuta come loro intersezione. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta (nello spazio). Vettori direttori di una retta e relativa formula per (l,m,n). Punti allineati e parallelismo (proporzionalità delle componenti) dei relativi vettori geometrici. Costruzione di equazioni cartesiane di una retta, dati due punti di passaggio o un punto e un vettore parallelo (il rango di un'opportuna matrice deve abbassarsi a 1).

NOTA: un programma di massima per i prossimi giorni è il seguente. Martedì 15 (esercizi): parallelismo retta-piano, scrittura di equazioni parametriche di rette, punti mobili su una retta, interpretazione geometrica di sistemi in tre incognite. Giovedì 17: fasci di piani, posizioni reciproche di due rette, prodotto scalare (inizio). Venerdì 18 (vecchi argomenti sospesi): doppia riduzione a scala per la matrice inversa, dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli (versione rango-per-colonne); seguiranno altri esercizi ed esempi su rette e piani nello spazio. 

Mar. 15-11 :
Esercizi vari, su piani e rette. Piano parallelo a una retta e relativo sistema incompatibile (ranghi diversi). Piano contenente una retta (infinito alla 1 soluzioni). Tre piani incidenti in un punto (un'unica soluzione), cioè una retta tagliata da un piano. Discussione di sistemi e relativa interpretazione geometrica. Fascio improprio di piani (piani paralleli). Fascio proprio di piani (cenno). In alternativa al controllo dei ranghi, utilizzo del vettore direttore (l,m,n) per stabilire se un piano è parallelo a una data retta (se tale vettore annulla l'equazione omogenea del piano, cioè appartiene alla sua giacitura, occorre poi verificare che un punto qualunque della retta non appartenga al piano, altrimenti la retta è contenuta interamente nel piano, anziché essere parallela ad esso; se invece (l,m,n) non appartiene alla giacitura, siamo certi che retta e piano si intersecano e in un solo punto - senza fare altri controlli). Ricerca di punti casuali su una data retta (si fissa un valore per un'incognita e si trovano gli altri due valori, purché la scelta iniziale sia corretta - non dobbiamo intersecare la retta con piani che non la incontrano, cioè piani paralleli!).

NOTA: Nell'esercizio V10, -3+3k = 1 deve essere sostituito con -3+3k = 0 (si tratta dell'annullamento di un minore!), grazie all'osservazione di una studentessa. Il proseguimento della soluzione resta corretto.

Gio. 17-11 :
Fasci di piani, propri. L'equazione di un piano qualsiasi contenente una data retta è una combinazione lineare delle equazioni della retta (dimostrazione). Esercizi risolti con l'ausilio dei fasci propri di piani. Utilizzo di un solo parametro (dividendo l'equazione ad es. per il primo dei due parametri originali) e perdita di un piano candidato (analogamente al caso bidimensionale, per i fasci di rette). Recupero delle equazioni dell'asse di un fascio, ottenibili separando i due parametri (come nel caso bidimensionale, in cui si ottiene il centro del fascio di rette). Posizioni mutue di due rette nello spazio. Rette sghembe e rette complanari. 4 casi (coincidenti, incidenti, parallele, sghembe) corrispondenti alle 4 possibilità per i ranghi della matrice incompleta e completa (dimostrazione). Esercizi vari sulle mutue posizioni di rette o di piani, in relazione ai ranghi dei relativi sistemi.

Ven. 18-11 :
Dimostrazione del procedimento di calcolo di (l,m,n), mediante le proprietà del determinante. Dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli utilizzando il rango per colonne. Doppia riduzione a scala per il calcolo della matrice inversa (metodo di Gauss-Jordan), con dimostrazione (le operazioni elementari possono essere viste come opportuni prodotti di matrici). Esercizi su posizioni reciproche di rette e su fasci propri di piani. Altri esercizi ed approfondimenti di geometria dello spazio.

Mar. 22-11 :
Esercizi su rette e piani nello spazio. Esercizio sulle equazioni parametriche di una retta. Introduzione al prodotto scalare, partendo dalla proiezione ortogonale di un vettore su un altro (dimostrazione dettagliata, utilizzando opportune similitudini di triangoli). Prodotto scalare e teorema fondamentale relativo al coseno. Formula inversa per calcolare il coseno dell'angolo tra due vettori. Il prodotto scalare è nullo quando (e solo quando) i due vettori sono ortogonali. Definizione generale (soltanto algebrica) di prodotto scalare, per qualunque R^n .

Gio. 24-11 :
Il prodotto scalare consente di interpretare in modo nuovo l'equazione di un piano. Vettore normale (a,b,c). Angolo tra piani, angolo tra piano e retta (calcolo dei relativi coseni; nel secondo caso il calcolo conduce al seno dell'angolo in questione). Esercizi vari su fasci di piani e angoli.

Ven. 25-11 :
Piano perpendicolare a un vettore o a una retta e passante per un punto (esercizi in particolare sul ruolo dei vettori (l,m,n) e (a,b,c) ). Formula della distanza tra un piano e un punto (con dimostrazione) e analoga formula in dimensione 2, per la distanza tra retta e punto. Distanza tra retta e punto nello spazio (utilizzo di un opportuno piano perpendicolare alla retta). Distanza (minima) tra rette sghembe; distanza tra rette parallele. Prodotto scalare e lunghezza di vettori. Simbolo di “prodotto vettoriale” Ʌ per calcolare (l,m,n) (da approfondire in futuro). Stelle e fasci di rette, stelle di piani.

Martedì prossimo affronteremo esercizi relativi a: distanza tra un piano e un punto mobile; distanza (minima) tra rette sghembe; retta della minima distanza tra rette sghembe; proprietà del prodotto scalare; stella di piani. Gli ultimi esercizi (se resta tempo) introdurranno il concetto di proiezione ortogonale vettoriale.

Mar. 29-11 :
Esercizi vari su piani e rette in relazione all’ortogonalità e alle distanze. Sottospazio ortogonale a un dato sottospazio di R^n (scrittura di equazioni cartesiane).
NOTA: le stelle di piani e le proprietà del prodotto scalare verranno trattate successivamente. Dalla prossima lezione studieremo le proiezioni ortogonali vettoriali ed argomenti affini.

Gio. 01-12 :
Prodotto vettoriale (def. geometrica) e teorema (senza dimostrazione) del calcolo di tale vettore come (l,m,n). Area di triangoli. Volume di parallelepipedi (prodotto misto). Proprietà del prodotto vettoriale. Proiezione ortogonale vettoriale di un vettore su un altro. Proiezione ortogonale di un vettore sul piano generato da due vettori ortogonali. Coefficienti di Fourier. Ortogonalizzazione di una base costituita da due soli vettori, non ortogonali (è il metodo di Gram-Schmidt nella situazione più semplice), adeguando il secondo vettore al primo.

Ven. 02-12 :
Metodo di Gram-Schmidt per la progressiva ortogonalizzazione di una data base. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Componente ortogonale rispetto a un sottospazio (esempio basilare del piano in R^3). Esercizi vari sull’ortogonalità. Utilizzo dei coefficienti di Fourier come coordinate rispetto a una base ortogonale. Area di un triangolo nel caso bidimensionale (è un caso particolare dell’area calcolata nello spazio tridimensionale, tramite il prodotto vettoriale).

Mar. 06-12 :
Nota: eliminazione di vettori superflui per ottenere una base a partire da un insieme di generatori, per poi applicare il procedimento di Gram-Schmidt. Nuovo argomento: applicazioni lineari e loro autovettori. Un esempio di applicazione lineare, dal piano al piano. Definizione basilare di applicazione lineare (tra spazi vettoriali). Matrice di un’applicazione lineare, le cui colonne sono le immagini della base canonica. Equazioni di un’applicazione lineare, anche in relazione alle righe della matrice. Autovettore e relativo autovalore di un’applicazione lineare. Significato geometrico degli autovettori. Dimostrazione della procedura per trovare gli autovalori a partire dalla matrice. Equazione caratteristica. Calcolo di autovettori.

Ven. 09-12 :
Esercizi vari, tratti da vecchie prove scritte, relativi a tutto il programma svolto finora. Accenno ad esercizi futuri, non ancora trattabili. Quesiti a risposta V/F oppure a risposta numerica. 

Mar. 13-12 :
Esercizi vari e approfondimenti sui sottospazi. Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di un sottospazio di R^n (per le seconde, eventuale utilizzo del teorema degli orlati). Intersezione di sottospazi. Somma di sottospazi. Formula di Grassmann. Componente ortogonale di un vettore rispetto a un dato sottospazio (proiezione ortogonale sul sottospazio ortogonale).
NOTA: i numeri degli esercizi assegnati (oggi) verranno trascritti su questa pagina soltanto giovedì prossimo (nota del 16-12: sono stati trascritti venerdì 16); essi infatti si riferiscono ad argomenti successivi.

Gio. 15-12 :
Approfondimenti su matrici quadrate di applicazioni lineari (endomorfismi di spazi R^n). Composizione di applicazioni lineari e relativo prodotto di matrici. Applicazione inversa e matrice inversa. Rotazioni e, più in generale, matrici le cui colonne sono versori a due a due ortogonali (matrici “ortogonali”); per tali matrici l’inversa coincide con la trasposta. Cambiamento di coordinate mediante una data base di autovettori. Diagonalizzazione di un’applicazione lineare a partire dalla sua matrice (data nelle basi canoniche, sottinteso). Si tratta della composizione di tre processi; il primo e l’ultimo sono in realtà dei cambiamenti di punto di vista, di coordinate, ma possono essere interpretati come processi veri e propri, da comporre (cfr. la relatività dei moti). Matrici del cambiamento di coordinate, in generale. Teorema spettrale. Esempio di autovalori complessi non reali (qui la diagonalizzabilità reale non sussiste).

Ven. 16-12 :
Applicazioni lineari con matrice di tipo qualunque (sempre sottintendendo le basi canoniche). Immagine e nucleo. Suriettività e iniettività. Utilizzo cruciale del rango in questo contesto. Controimmagine. Ruolo del nucleo rispetto alle altre controimmagini (giacitura). Il nucleo e l’immagine di un’applicazione lineare sono sottospazi (da dimostrare nel caso generale, per spazi vettoriali qualunque, esercizio). La dimensione del nucleo più quella dell’immagine danno la dimensione del dominio (dimostrazione nel caso di spazi R^m , R^n , con l’ausilio del rango). Cambiamento di coordinate nel dominio e/o nel codominio, e relativo prodotto di matrici per ottenere la nuova matrice dell’applicazione lineare (si tratta dello stesso processo, osservato però da un “punto di vista” diverso). La matrice del cambiamento di coordinate agisce sulle coordinate rispetto alla base vecchia, trasformandole in coordinate rispetto alla base nuova (esempio numerico).

Mar. 20-12 :
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Matrice di un’applicazione lineare rispetto a basi qualunque. Nuovo argomento: rotazioni di coniche nel piano cartesiano. Matrice associata a un polinomio di secondo grado in due incognite. Diagonalizzazione della matrice simmetrica di ordine 2 associata ai monomi di grado 2; grazie al teorema spettrale, la matrice del cambiamento di coordinate ha come inversa la sua trasposta, quindi si comporta come un vero e proprio cambiamento di coordinate anche in relazione al polinomio dato. Rotazione secondo la base di autovettori. Esempio: calcolo del vertice di un’iperbole, sia nelle nuove coordinate (sfruttando l’equazione ormai canonica) che nel riferimento originale (effettuando il cambiamento di coordinate a disposizione, per trovare le vecchie coordinate del vertice).

Mar. 10-01-2012 :
Coniche. Ellisse e iperbole. Definizioni mediante i due fuochi, ma anche mediante la direttrice e l’eccentricità. Formule per l’ellisse in forma canonica. Rotazione di un’ellisse e procedimento inverso. Parabola come elemento separatore, sia nelle sezioni piane di un cono che rispetto all’eccentricità.

Gio. 12-01 :
Iperbole e parabola; relative formule. Asintoti. Traslazione di una conica. Formule per il centro di un’ellisse o un’iperbole. Invarianza dei determinanti della matrice di ordine 2 (monomi di secondo grado) e dell’intera matrice, per ogni rotazione o traslazione (cenno della dim.). Utilizzo di tale invarianza per scrivere facilmente la forma canonica, una volta trovati gli autovalori (da approfondire domani). Trasformazione di punti e anche di equazioni (di asintoti o direttrici) mediante un cambiamento di coordinate. Argomento precedente: applicazioni lineari. Matrice generale di un’applicazione lineare, rispetto a due date basi del dominio e del codominio; esercizio di approfondimento.

Ven. 13-01 :
Esercizi vari. Metodo del determinante invariante, per la scrittura di un’ellisse o un’iperbole in forma canonica. Coniche degeneri. Sfera e circonferenza nello spazio. Tipi di quadriche e relative equazioni (cenno). Stella di piani. Approfondimenti conclusivi su applicazioni lineari e coniche.
Il corso è terminato.

 Esercizi assegnati e argomenti del testo consigliato:
(le parti in grassetto sono le più recenti)

Libro di testo (compresi gli esercizi nei relativi paragrafi):
Cap. 1 più il Teorema 4.12.2 (distanza punto-retta, senza dim.). Del cap. 2: 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.9. Inoltre 4.1 (prima parte). Ripetere la 1.7. 2.8, 2.10. Nei prossimi giorni completeremo le sezioni 3.1, 3.2 (rango per piloni e teorema di Rouché-Capelli) e torneremo sulla 2.3 (matrici). 3.1 - 3.6. 2.3 (completare). Completare il cap. 3. 4.1 - 4.3 e successivamente 4.4 - 4.8. Completare il cap. 4. NUOVO: par. 5.2 . Tutto il cap. 5. 6.1 – 6.3 , 6.8 – 6.10 , [6.13 , 6.14 , solo il calcolo di autovettori] , 6.17. Tutto il cap. 6. Tutto il cap. 7.

Esercizi vari (dott. Vietri, prefisso “V” sottinteso):
14-18, 20, 53 - 55 (solo il terzo e il quarto del 55). 11 (non il determinante, alla fine), 12. 5 - 7 ; 55 (completo), 56, 60 (senza interpretazione geometrica), 62. 1 - 4 , 11 (fine) , 52. 8, 10, 57 - 59, 61 (senza interpretazione geometrica in tre dimensioni), 1 - 3. Interpretazione geometrica di tutti i sistemi e tutte le discussioni in tre incognite, assegnati in precedenza. Inoltre: 22 - 24 e successivamente 26, 28, 40, 41, 43, 46, 47; infine 34 - 36. 9, 19, 21, 25, [27], 30 - 33, 37, [38, 39], 42, 44, 45, [49], 50, 51.
Nota: [...] sono gli esercizi da affrontare per ultimi. 13, 48, 81 – 95 (eq. cartesiane e parametriche per ultime, insieme all’88 e 89). Le equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi, la componente ortogonale generale, l’intersezione di sottospazi e la formula di Grassmann verranno trattate più avanti. Per ora, trattiamo le applicazioni lineari e gli autovettori: 67, [75, 76, 78 , solo il calcolo di autovettori], 80. Gli esercizi sui sottospazi e l’ortogonalità ora possono essere svolti senza esclusione. Poi, tutti gli esercizi sulle applicazioni lineari fino al 95. Per ultimi: 70 (fine), 71 (fine), 72, 73, 74 (fine), 79, 80. Tutti i restanti esercizi.

Esercizi complementari (prof. Del Fra):
24 (b,e,h), 25, 26, 37, 38, 40, 42-50, 53-57. 16-22. 11 (non il determinante), 12, 24 (completo). Successivamente: 14, 15, 28. Il 27 è stato già assegnato ma in effetti richiede approfondimenti sui sistemi. 11 (fine) , 12 (calcolare anche det(A_1) ), 13. Calcolare determinanti a piacere, cambiando la riga o la colonna dello sviluppo di Laplace, e verificare che il risultato non varia. 13 (ora sì) , 14 (calcolare il rango), 26 (ripetere), 27. Interpretazione geometrica di tutti i sistemi e tutte le discussioni in tre incognite, assegnati in precedenza. Inoltre: 61, 80 e successivamente 62 - 65, 72 - 78, 81 - 84, 87; infine il 79. 96. NOTA: il 65 non doveva essere ancora assegnato (perché?). 25 (tutto, in particolare l'interpretazione geometrica), 36, 39, 41, 51, 52, 65 - 71, 85, 86, 88, [90], 91, [92 - 94], 95, [97]. Anche l’89. 101 – 105. 85, 88, 95 ora col prodotto vettoriale. 34, 35. 9, 10, 23, 29 – 33 (31 per ultimo). 58 – 60. 98 – 100 e come approfondimento 1 – 8 (tutti i restanti esercizi).

Esercizi sulle coniche (prof.ssa Carrara):
Ora questi esercizi possono essere gradualmente affrontati.

Errata corrige del libro di testo, aggiornata:

P.65, Corollario 3.3.1: sostituire "h-esima" con "H-esima".
P.124, righe 2 e 4: sostituire S con T .
P.198, riga 4: sostituire b con b al quadrato . Più avanti, occorre precisare che nel caso dell'iperbole poniamo b uguale alla radice quadrata di: ( c al quadrato meno a al quadrato). Quindi la formula dei fuochi cambia di segno.
P.113, ultima riga: ha, come coseno, ... 16/65 .
Esercizio 4.8.2: lo sviluppo del determinante è lungo la seconda riga, anziché colonna.
Fine della p. 117: il punto a piacere è su s anziché r (anche all’inizio della pagina successiva).

NOTE: 
Nell'esercizio V10, -3+3k = 1 deve essere sostituito con -3+3k = 0 (si tratta dell'annullamento di un minore!), grazie all'osservazione di una studentessa. Il proseguimento della soluzione resta corretto.
Nel testo dell’esercizio V71 occorre sostituire (4,4) con (8,6), grazie alle osservazioni di alcuni studenti.
Nell’esercizio V101 occorre sostituire 7 a 37 (vedere la pagina principale del sito).