Domanda

Avendo a disposizione una squadra è possibile stabilire se un chiodo piantato su un piano è perpendicolare al piano? Come? Perché?

Spunto preso da:

V.Villani Cominciamo dal punto

Pitagora Editrice, Bologna, 2006.

Verso la risposta

La squadra serve per controllare se un angolo è retto.

Poniamo quindi la squadra con un lato, corrispondente ad un cateto, sul piano e verifichiamo se l’altro cateto combacia con il chiodo.

Ma, facciamo attenzione, ciò NON è sufficiente per verificare se il chiodo è perpendicolare al piano.

Fissato infatti un cateto sul piano, vi sono infinite posizioni della squadra.

Per una sola di esse il chiodo è perpendicolare al piano.

Cliccando sulla figura puoi muovere il punto A .

Per capire il problema dobbiamo avere ben chiaro cosa intendiamo quando diciamo che il chiodo è perpendicolare al piano.

Ricordiamo la definizione di perpendicolarità tra una retta e un piano.

Definizione (Definizione 3 del libro XI degli Elementi di Euclide)

Una retta e un piano che si intersecano in un punto O si dicono perpendicolari se la retta è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto O.

Bene, abbiamo capito l’errore che abbiamo fatto prima.

Abbiamo controllato la perpendicolarità del chiodo con una sola retta del piano.

Per vedere quindi se il chiodo è perpendicolare al piano in teoria dovremmo fare infinite prove: una per ogni retta del piano passante per il punto O.

In effetti il seguente teorema ci permette di fare solo due verifiche:

Teorema (Proposizione 4 del libro XI degli Elementi di Euclide)

Siano dati una retta r un piano che si intersercano in un punto O.

Se la retta r è perpendicolare a due rette distinte del piano passanti per O, allora la retta r e il piano sono perpendicolari.).

Risposta

Per verificare se il chiodo è perpendicolare al piano poniamo la squadra con il vertice dell’angolo retto nell’intersezione del chiodo con il piano e un cateto che poggia su piano. Verifichiamo se l’altro cateto giace sul chiodo.

Facciamo una seconda verifica poggiando il cateto su un’altra retta.

Se in ambedue i casi l’altro cateto giace sul chiodo si ha che il chiodo e il piano sono perpendicolari.