PLS Progetto Archimede

Sapienza, Università di Roma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ESPANSIONE DI UN OTTAEDRO REGOLARE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Robert Gabriele

 ITIS Galileo Galilei, III L

 

(Nell’ambito del progetto Matematica creativa)

SOLIDO SCELTO. Abbiamo scelto come solido l’ottaedro regolare. Questo solido ha 8 facce che sono tutti triangoli equilateri. Ha 12 spigoli e 6 vertici.

 

SCOPO DELL’ESPERIENZA. Ottenere l’espansione di un ottaedro mediante l’uso del programma Cabri 3D.

 

PROCEDIMENTO.  Abbiamo costruito un ottaedro regolare usando il comando di “ottaedro regolare” che Cabri 3D ci offre; abbiamo cliccato tale opzione, abbiamo puntato sulla porzione di piano che viene visualizzata alla apertura del programma e abbiamo ottenuto il nostro ottaedro.

 

Poi abbiamo dato ai vertici dei nomi, come illustrato nella figura a pagina seguente, così da avere una situazione più chiara.

 

  1. ESPANSIONE DI UNA FACCIA DELL’OTTAEDRO.

 

Ci serve l’espansione di una delle varie facce. Ne abbiamo scelta una a caso.

Abbiamo tracciato la perpendicolare alla faccia del triangolo ABC nel vertice A e un punto M su tale retta. Tramite l’opzione “poligono” abbiamo evidenziato la faccia del triangolo ABC. Abbiamo utilizzato, quindi, una seconda opzione l’opzione “traslazione”, che ci ha permesso di ottenere la traslazione della faccia ABC dell’ottagono nel triangolo MNY.

 

 

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  1. REALIZAZIONE DELL’ESPANSIONE DELLE ALTRE FACCE.

 

A questo punto, ci serviva l’espansione delle restanti facce del solido. A tal fine abbiamo tracciato la retta passante per i punti B e C.

Ci siamo serviti quindi dell’opzione “rotazione” e abbiamo ruotato il triangolo MNY, espansione del triangolo ABC di 90° intorno alla retta BC. Attraverso questa rotazione dello spazio il vertice A viene così portato nel vertice C. Ed ecco che appare l’espansione della faccia del triangolo BCD.

 

 

 

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  1. COME OTTENERE L’ESPANSIONE DELLE ALTRE FACCE.

 

3.1  Per ottenere l’espansione delle altre facce , ripetiamo il procedimento del paragrafo precedente per tutte le facce del solido cosi da avere tutte le espansioni. Questo è il risultato ottenuto:

 

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  1. COSTRUZIONE DEL SOLIDO ESPANSO.

 

  Per costruire il solido espanso abbiamo unito i vertici e siamo arrivati al seguente poliedro:

 

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Chi è dotato del Plugh in di Cabri 3D può cliccare sulla figura precedente. Trascinando il punto L di colore rosso può vedere come varia il poliedro espanso al variare del punto L.

Chi è dotato di Cabri 3D può aprire il file Espansione_di_un_ottaedro.

 

 

 

 CONCLUSIONI.

 

Riprendendo l’ultima figura, ci siamo resi conto che spostando il punto M, su cui avevamo traslato il triangolo ABC, e spostandolo lungo la retta AM rimangono inalterate alcune proprietà di questo nuovo solido. Le facce della figura precedente in rosso sono sempre dei quadrati.

Questo è dovuto al fatto che i vertici di tale faccia sono il risultato di rotazioni del vertice di partenza attorno alla retta passante per il vertice A e il centro dell’ottaedro. Tutti questi punti sono rotazioni di 90° attorno a questa retta Osserviamo infine che questi punti si vengono a trovare su un piano perpendicolare alla retta di rotazione.

I triangoli verdi sono equilateri uguali alle facce del tetraedro originale dal momento che sono loro traslazioni.

Si può dimostrare che i quadrilateri blu sono rettangoli.

Un loro lato è sempre uguale agli spigoli dell’ottaedro di partenza.

La lunghezza dell’altro lato varia da 0 a infinito. Esisterà quindi un punto in cui tutti questi rettangoli sono quadrati.

In questo caso si ottiene un poliedro archimedeo.

Osserviamo che in ogni vertice insistono tre quadrati e triangolo capiamo che abbiamo ottenuto lo stesso solido ottenuto espandendo un cubo (vedere “Dal cubo al rombicubottaedro per mezzo di un’espansione”.

Si tratta quindi di un rombicubottaedro. Abbiamo quindi capito perché gli è stato dato questo nome: si può ottenere sia da un cubo che da un ottaedro.