I SOLIDI PLATONICI

 

I solidi platonici sono cinque. Per ognuno di essi mostriamo un suo modello virtuale e un suo sviluppo piano così come ci vengono dati da Cabri 3D.

tetraedro.pngtetraedro(sviluppo).png

 

Il tetraedro, formato da quattro triangoli.

 

 

 

cubo.pngcubo(sviluppo).png

Il cubo, formato da sei quadrati.

 

ottaedro.pngottaedro(sviluppo).png

L’ottaedro, formato da otto triangoli.

 

 

dodecaedro.pngdodecaedro(sviluppo).png

 

Il dodecaedro, formato da dodici pentagoni.

 

icosaedro.png

L’icosaedro, formato da venti triangoli.

 

 

 

Le proprietà dei solidi platonici

Osserviamo quali proprietà hanno questi cinque solidi:

1)    sono poliedri convessi

2)    tutte le loro facce sono poligoni regolari

3)    tutte le loro facce sono uguali

4)    in ogni vertice converge lo stesso numero di facce.

 

Perché si possono avere solamente cinque solidi aventi queste proprietà?

 

In ogni vertice devono convergere almeno tre facce tutte uguali. Tali facce non possono stare sullo stesso piano, quindi la somma dei loro angoli deve essere minore di 360°.

 

Tuttavia le facce possono assumere la forma solamente di triangoli equilateri, quadrati e pentagoni.

Non vi possono essere esagoni o poligoni con un numero maggiore di lati.

Questo perché usando una figura come l’esagono, poichè avremmo 3 angoli ciascuno da 120°, quindi un totale di 360°. A maggior ragione non si possono usare poligoni con più di sei lati.

Tuttavia neanche con i triangoli equilateri sono ammesse tutte le combinazioni possibili. Difatti possiamo arrivare al massimo a 5 triangoli, infatti:

 

3x60°=120° <360° Tetraedro

4x60°=240° <360° Ottaedro

5x60°=300° <360° Icosaedro

 

6x60°=360°

L’ultima combinazione non va bene, infatti la somma degli angoli arriva a 360°, ma la nostra condizione impone di avere un valore minore di 360°.

 

Stesso discorso per i quadrati

 

3x90°=270°<360° Cubo

 

4x90°=360° (impossibile, avremmo i quadrati disposti sullo stesso piano)

 

Stessa cosa vale per i pentagoni.

 

3x108°=324°<360° Dodecaedro

 

4x108°=432°>360° (altra combinazione impossibile da avere)

 

Quindi riassumendo, possiamo avere intorno ad ogni vertice dai 3 ai 5 triangoli, un quadrato e un pentagono. Scriviamo le combinazioni ottenute così

(3,3,3) tre triangoli                 tetraedro

(3,3,3,3) quattro triangoli       ottaedro

(3,3,3,3,3) cinque triangoli     icosaedro

(4,4,4) tre quadrati                 quadrato

(5,5,5) tre pentagoni               dodecaedro

 

In sintesi, possiamo avere solamente queste cinque combinazioni, quindi solamente cinque solidi platonici.