Modelli di poliedri
Durante i tre anni di attività del Progetto Archimede abbiamo costruito vari tipi di modelli di poliedri:
alcuni di questi sono modelli reali, costruiti con materiale di vario tipo, altri sono modelli virtuali, costruiti cioè usando software specifici.
1) Modelli reali
Abbiamo usato vari materiali:
a) Geomag
b) cannucce unite con scovolini nettapipe
c) cartoncino
Ecco alcuni modelli reali di un ottaedro regolare.
2) Modelli virtuali
Abbiamo costruito modelli virtuali di poliedri usando il software di geometria dinamica Cabri 3D,
(ma si possono usare anche altri programmi di geometria dinamica, come Geogebra):
Verso la costruzione di un cubo
Questa è la foto dello schermo di un PC scattata mentre uno studente stava creando un cubo.
Ma c’è un comando di Cabri 3D che costruisce direttamente qualsiasi poliedro regolare (platonico).
Andiamo con ordine. Vediamo come è fatto Cabri 3D.
Ecco la sua pagina iniziale:
Pagina iniziale di Cabri 3D
Al centro della pagina appare la pagina iniziale. In essa sono raffigurati gli oggetti geometrici di base.
Essi sono descritti nella parte sinistra dello schermo.
Sono un punto O, tre vettori i, j e k aventi tutti l’origine in O, il piano di base contenente i versori i e j.
I vettori i, j e k sono tutti di lunghezza uguale a 1, per questo vengono chiamati versori. Sono tra loro perpendicolari.
In alto si trova la barra degli strumenti, che contiene diversi pulsanti.
Cliccando su uno di questi si sceglie uno strumento con il quale si disegna un ente geometrico.
Abbiamo evidenziato il penultimo pulsante, cliccando su questo si costruisce un cubo.
Nella parte destra sono date alcune informazioni sull’uso degli strumenti.
Per disegnare un cubo si deve definire una sua faccia (quadrato).
Per far ciò si deve scegliere il piano cui appartiene la faccia, il suo centro e un suo vertice.
Centro e vertice devono ovviamente stare sul piano scelto.
Esistono due cubi aventi una faccia assegnata. Si può scegliere quale dei due cubi disegnare.
Cubo con faccia, appartenente al piano base, di centro O’ e vertice A.
Trascinando con il mouse i punti O’ e A, si spostano i punti O’ e A si modifica di conseguenza il cubo.
Si può decidere se disegnare solo lo scheletro del poliedro, come nel disegno precedente, o tutte le sue facce, come nella seguente figura in cui abbiamo disegnato i cinque poliedri regolari (platonici).
I cinque poliedri regolari. Hanno tutti una faccia sul piano di base.
Abbiamo visto che trascinando il centro della faccia e il vertice si modifica di conseguenza il poliedro.
Abbiamo creato il file Costruzione_poliedro_regolare per mezzo del quale si si può cambiare con facilità il piano p a cui appartiene una faccia, si può scegliere il raggio del poligono regolare, faccia del poliedro, si può ruotare il poliedro.
Cubo con faccia, appartenente al piano p, di centro O’ e vertice A.
Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) si può
- trascinare il punto O’ sulla retta r e così il cubo si trasla lungo la retta r
- trascinare il punto R sulla retta s e così il cubo si ingrandisce o rimpicciolisce
- trascinare il punto A sulla circonferenza c1 e così il cubo ruota.
Vediamo come abbiamo costruito il nostro file.
Abbiamo innanzitutto dato un nome agli oggetti geometrici di base.
Abbiamo quindi:
o chiamato O l’origine dei versori
o disegnato gli estremi U1 , U2 e U3 dei versori i, j e k rispettivamente.
Per poter traslare con facilità in verticale il piano su cui giace una faccia del poliedro, abbiamo disegnato:
o la retta r passante per l’origine O e il punto U3. Questa retta è perpendicolare al piano di base
o un punto O’ sulla retta r
o il piano p passante per O’ e parallelo al piano di base.
Trascinando il punto O’ sulla retta r, il piano p viene traslato verticalmente. La nostra faccia giacerà sul piano p e avrà centro in O’.
Per poter modificare con facilità la distanza tra il centro della faccia e un suo vertice, cioè il raggio della faccia, abbiamo disegnato:
o il punto U1’, traslazione del punto U1 tramite la traslazione che porta O in O’
o la semiretta s di origine O’ e passante per U1’
o un punto R sulla semiretta s.
Trascinando il punto R sulla semiretta s si fa variare il raggio della faccia.
Per poter ruotare con facilità la faccia del poliedro, abbiamo disegnato
o la circonferenza c1, nel piano p, di centro O’ e passante per R
o un punto A sulla circonferenza c1 .
Abbiamo infine disegnato un poliedro regolare, in questo caso un cubo, con faccia appartenente al piano di base p, di centro O’ e vertice A.
Abbiamo salvato il file con il nome costruzione_poliedro.
La pagina iniziale del file costruzione_poliedro
In esso abbiamo nascosto tutti gli oggetti geometrici fuorché il piano p, il punto O’, il punto R e il punto A.
Useremo d’ora in poi questo file ogni volta che costruiamo un poliedro regolare.