PLS Progetto Archimede

Sapienza, università di Roma.

DA UN CUBO E DA UN OTTAEDRO

A UN CUBOTTAEDRO

Stefano Brunori, Edoardo Scuderi e Kirill Kasap

I.T.I.S. Galileo Galilei/ Liceo Statale Talete

(Nell'ambito del progetto matematica creativa)

PRIMA PARTE. Dal cubo al cubottaedro. 

• Costruire un cubo ABCDEFGH con l'utilizzo di comandi di Cabri 3D.

• Costruire un punto P nel segmento BM dove M è il punto medio del lato AB trovato con il comando di Cabri 3D punto medio.

• Costruendo il piano parallelo al piano dei vertici ACG passante per P, trovare le intersezioni P' e P'' di tale piano con gli spigoli del cubo.  Applicando il teorema di Talete nello spazio si può dimostrare che il segmento BP è congruente al segmento BP' e BP'' quindi secondo il primo principio di congruenza dei triangoli i triangoli BPP', BPP'' e BP'P''  sono congruenti (avendo 2 lati e l'angolo compreso tra essi congruenti).

• Tramite il comando di Cabri 3D “rotazione” e “simmetria” trovare i piani che andavano a formare, con ciascuno dei vertici, tre triangoli congruenti a BPP'. Sezionare il solido escludendo da esso tutte le piramidi congruenti alla piramide PP'P''B.

• Cabri 3D permette di spostare il punto P e in base a questo spostamento modificare il solido. Sovrapporre il punto P al punto medio M del segmento AB. Il solido ottenuto è un cubottaedro.

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D si può cliccare sulla figura precedente per muovere il punto P e vedere come si passa con continuità dal cubo al cubottaedro.

SECONDA PARTE. Dall’ottaedro al cubottaedro. 

• Costruire tramite il comando di Cabri 3D “ottaedro” un ottaedro regolare ABCDEF

• Costruire un punto P nel segmento DM dove M è il punto medio del segmento CD.

• Trovare il piano parallelo al piano del quadrato AECF passante per P. I punti di intersezione tra la figura e il nuovo piano formano un quadrato PP'P''P''' e questo si può dimostrare tramite il teorema di Talete applicato nello spazio.

• Trovare tramite i comandi “simmetria” e “rotazione” i piani che formano per ogni vertice una piramide simile a quella a base quadrata (DPP'P''P''') sul vertice D e usarli per sezionare l'ottaedro tagliando tutte le piramidi ottenute con il metodo precedente.

• Spostare e sovrapporre il punto P su M. Si ottiene un cubottaedro.

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D si può cliccare sulla figura precedente per muovere il punto P e vedere come si passa con continuità dall’ottaedro al cubottaedro.

TERZA PARTE. Dal cubo e dall’ottaedro al cubottaedro. 

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D si può cliccare sulla figura precedente per

- spostare il punto P in M e vedere come si passa con continuità dall’ottaedro al cubottaedro

- spostare il punto Q in M e vedere come si passa con continuità dal cubo al cubottaedro.