Da un icosaedro regolare ad un icosaedro tronco

Consideriamo un icosaedro regolare e un suo vertice A.

Siano B, C,D, E e F gli altri estremi degli spigoli dell’icosaedro concorrenti in A.

Essi sono vertici di un pentagono regolare.

Consideriamo ora il punto medio M dello spigolo AB.

Scegliamo sul segmento AM un punto P.

Il piano parallelo al pentagono BCDEF interseca gli spigoli dell’icosaedro in un pentagono regolare.

La piramide di vertice A e base PP₁P₂P₃P₄ è una piramide retta.

Togliamo al nostro icosaedro questa piramide. Abbiamo così troncato all’icosaedro il vertice A.

Tronchiamo poi ogni vertice del nostro icosaedro in modo da togliere ogni volta piramidi uguali alla piramide di vertice A e base PP₁P₂P₃P₄.

Il solido che rimane è formato da 12 pentagoni regolari (uno per ogni vertice dell’icosaedro) e da 20 esagoni, uno per ogni faccia dell’icosaedro.

Si dimostra che, se si prende il punto P coincidente con il punto P’ avente distanza da A uguale ad un terzo della distanza tra A e B, gli esagoni sono regolari.

Abbiamo così ottenuto un poliedro archimedeo, chiamato icosaedro tronco.

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D si può cliccare sulla figura precedente per muovere il punto P e vedere come si passa con continuità dall’icosaedro regolare all’icosaedro tronco.