Piano Lauree Scientifiche – Progetto Archimede

I.T.I.S. GALILEI

  Alessandro Allega, Romina Cavicchia, Francesco De Toma

Marko Pejakovic, Alessandro Troisi

Alcuni poliedri non archimedei

Sappiamo che i 13 poliedri archimedei hanno le seguenti proprietà:

- tutte le loro facce sono poligoni regolari

- non tutte le facce sono uguali ma in ogni vertice concorre lo stesso numero di facce dello stesso tipo.

Ciò ci ha permesso di assegnare ad ogni poliedro archimedeo un simbolo.

Per esempio un poliedro di tipo (3,4,3,4) è un poliedro tale che in ogni vertice concorrano nell’ordine, un triangolo, un quadrato, un triangolo, un quadrato.

Si tratta del cubottaedro. 

Poliedri di tipo (3,4,4,4)

Siamo stati divisi in tre gruppi. Ci stato chiesto di costruire un poliedro di tipo (3,4,4,4), cioè un poliedro per il quale in ogni suo vertice concorrono un triangolo equilatero e tre quadrati.

Due gruppi hanno costruito il seguente poliedro:

Figura 1.

Questo è uno dei 13 poliedri archimedei. Si chiama rombicubottaedro.

Un altro gruppo ha costruito il seguente poliedro

Figura 2.

Ci siamo chiesti se i due poliedri fossero uguali.

Abbiamo capito che non lo sono.

Infatti il poliedro della figura 1 ha tutte le facce opposte ottenibili mediante traslazione una dall’altra; mentre nella figura 2 c’è una coppia di facce per la quale questo non è vero:  si passa da una faccia all’altra traslando e ruotando di 45°. 

Abbiamo allora pensato che il poliedro della figura 2 fosse sbagliato.

Abbiamo controllato tutti i vertici. Effettivamente in ogni vertice concorre un triangolo e tre quadrati.

Quindi ambedue i poliedri che abbiamo costruito sono di tipo (3,4,4,4). Uno di essi, quello di figura 1, è archimedeo. L’altro, quello di figura 2, non lo è. Questo secondo poliedro viene chiamato poliedro di Miller.

Abbiamo quindi che il rombicubottaedro e il poliedro di Miller, pur essendo entrambi poliedro dello stesso tipo, non sono uguali.

Ci è stato detto che questo è l'unico caso in cui poliedri dello stesso tipo non sono uguali.

Poliedri di tipo (n,4,4) e (n,3,3,3)

Ci è stato chiesto di costruire poliedri di tipo (3,4,4), (5,4,4), (6,4,4), (8,4,4), (10,4,4).

 Abbiamo costruito i seguenti poliedri

Figura 3

Sono tutti prismi aventi come base un poligono regolare e come facce laterali quadrati.

Ci siamo resi conto che, fissando un numero intero , si ottiene un prisma avente come base un poligono regolare a n lati e come facce laterali quadrati. Se n è uguale a 4 si ottiene un cubo.

Ci è stato poi chiesto di costruire poliedri di tipo (4,3,3,3), (5,3,3,3), (6,3,3,3), (8,3,3,3), (10,3,3,3).

Abbiamo costruito i seguenti poliedri

Figura 4

Abbiamo capito che sono poliedri costruiti tutti con procedure analoghe.

Si prendono due poligoni regolari uguali. Si sovrappongono. Si ruota uno dei due di un angolo opportuno. Si collegano le due basi con triangoli equilateri.

Abbiamo capito che questo procedimento si può fare per un qualsiasi poliedro di tipo (n, 3,3,3) per ogni intero .

Si prendono due poliedri regolari di n lati, si sovrappongono, si ruota uno dei due di un angolo uguale a  , che è la metà dell’ angolo al centro del poligono regolare a  n lati. Si collegano le basi con triangoli equilateri.

Questi poliedri si chiamano antiprismi.

Osserviamo che per n=3 otteniamo un ottaedro.

Figura 5

Abbiamo quindi infiniti prismi e infiniti antiprismi. Questi poliedri non erano stati considerati da Archimede.

Conclusione

Abbiamo capito che le condizioni

- tutte le loro facce sono poligoni regolari

- non tutte le facce sono uguali ma in ogni vertice concorre lo stesso numero di facce dello stesso tipo.

non sono sufficienti per definire un poliedro archimedeo.