Piano Lauree Scientifiche – Progetto Archimede

I.T.I.S. G.GALILEI di Roma

Alexandru Tudorache

Le altre espansioni

Abbiamo visto che per mezzo di un’espansione si passa dal cubo al rombicubottaedro.

Figura 1 

Cliccando sulla figura si può trascinare il punto P e vedere come si passa dal cubo al rombicubottaedro (serve il Plug-in di Cabri 3D).

Il rombicubottaedro ha come facce:

                6 quadrati che sono le traslazioni delle 6 facce quadrate del cubo

                12 quadrati che sono le espansioni dei 12 spigoli del cubo

8 triangoli equilateri che sono le espansioni degli 8 vertici del cubo. Sono triangoli perché ogni vertice ha valenza uguale a 3, cioè in ogni vertice del cubo convergono 3 facce.

Il rombicubottaedro ha quindi come facce

                18 quadrati

                8 triangoli equilateri.

Inoltre in ogni suo vertice convergono un triangolo equilatero (espansione di un vertice), un quadrato (espansione di uno spigolo), un quadrato (traslazione di una faccia del cubo) e un quadrato (espansione di uno spigolo).

Il rombicubottaedro è quindi un poliedro archimedeo di tipo (3,4,4,4).

Immaginiamo ora di espandere un ottaedro con lo stesso metodo. Con ragionamenti analoghi a quelli fatti nel caso del cubo capiamo che il poliedro archimedeo che otteniamo ha come facce:

                8 triangoli equilateri che sono le traslazioni delle 8 facce triangolari dell’ottaedro

                12 quadrati che sono le espansioni dei 12 spigoli dell’ottaedro

6 quadrati che sono le espansioni dei 6 vertici dell’ottaedro. Sono quadrati perché in ogni vertice dell’ottaedro ha valenza 4 facce.

Il poliedro archimedeo che abbiamo ottenuto  ha quindi come facce 8 triangoli equilateri e 18 quadrati

Inoltre in ogni suo vertice convergono un quadrato (espansione di un vertice), un quadrato (espansione di uno spigolo), un triangolo (traslazione di una faccia dell’ottaedro) e un quadrato (espansione di uno spigolo).

Abbiamo quindi un poliedro archimedeo di tipo (4,4,3,4); che diventa (3,4,4,4), se cominciamo a numerare dal triangolo.

Abbiamo costruito un file Cabri che mostra come si passa dall’ottaedro al poliedro archimedeo per mezzo di un’espansione.

Figura 2

Cliccando sulla figura si può trascinare il punto P e vedere come si passa per espansione dall’ottaedro al nuovo poliedro (serve il Plug-in di Cabri 3D).

Osserviamo che anche in questo caso otteniamo un rombicubottaedro. Da ciò il suo nome.

Possiamo riassumere il tutto in questa tabella:

Cubo	Espansione à	Rombicubottaedro (3,4,4,4)	Espansione ß	Ottaedro
6 facce quadrati	à	6 quadrati	ß	6 vertici di valenza 4
12 spigoli	à	12 quadrati	ß	12 spigoli
8 vertici di valenza 3	à	8  triangoli	ß	8 facce triangoli

Abbiamo creato un file per mezzo del quale si può passare con continuità dal cubo al rombicubottaedro e poi all’ottaedro per mezzo di espansioni.

Figura 3 

Cliccando sulla figura (serve il Plug-in di Cabri 3D) si può trascinare:

- il punto P (cubo) per passare dal cubo al rombicubottaedro

- il punto P (ottaedro) per passare dall’ottaedro al rombicubottaedro.

Espandiamo ora un icosaedro.

Figura 4

Traslando le facce dell’icosaedro di una distanza opportuna otteniamo un poliedro archimedeo che viene chiamato rombicosidodecaedro. Abbiamo creato un file che mostra l’espansione dall'icosaedro al rombicosidodecaedro.

Figura 5

Cliccando sulla figura (serve il Plug-in di Cabri 3D) si può trascinare il punto P per passare dall’icosaedro al rombicosidodecaedro. 

Il rombicosidodecaedro come facce:

                20 triangoli  che sono le traslazioni delle 20 facce triangolari dell’icosaedro

                30 quadrati che sono le espansioni dei 30 spigoli dell’icosaedro

12 pentagoni regolari che sono le espansioni degli 12 vertici dell’icosaedro. Sono pentagoni perché in ogni vertice dell’icosaedro ha valenza uguale a 5.

Inoltre in ogni suo vertice convergono un pentagono regolare (espansione di un vertice), un quadrato (espansione di uno spigolo), un triangolo (traslazione di una faccia dell’icosaedro) e un quadrato (espansione di uno spigolo).

Il rombicosidodecaedro è quindi un poliedro archimedeo di tipo (3,4,5,4).

Immaginiamo ora di espandere un dodecaedro con lo stesso metodo. Il poliedro archimedeo che otteniamo ha come facce:

                12 pentagoni equilateri che sono le traslazioni delle 12 facce pentagonali del dodecaedro

                30 quadrati che sono le espansioni dei 30 spigoli del dodecaedro

                20 triangoli che sono le espansioni dei 20 vertici del dodecaedro. Sono triangoli perché in ogni vertice del dodecaedro ha valenza 3.

Inoltre in ogni suo vertice convergono un triangolo (espansione di un vertice), un quadrato (espansione di uno spigolo), un pentagono (traslazione di una faccia del dodecaedro) e un quadrato (espansione di uno spigolo). Abbiamo quindi un poliedro archimedeo di tipo (3,4,5,4).

Abbiamo creato un file che mostra l’espansione del dodecaedro.

Figura 6

Cliccando sulla figura (serve il Plug-in di Cabri 3D) si può trascinare il punto P per passare dal dodecaedro al nuovo poliedro.

Anche in questo caso succede qualcosa di analogo a quel che abbiamo visto prima con le espansioni del cubo e dell’ottaedro: espandendo un dodecaedro si ottiene lo stesso poliedro archimedeo che avevamo ottenuto espandendo un icosaedro: il rombicosidodecaedro. Da qui il nome.

Possiamo riassumere il tutto in questa tabella:

Icosaedro	Espansione à	Rombicosidodecaedro (3,4,5,4)	Espansione ß	Dodecaedro
20 facce triangoli	à	20 triangoli	ß	20 vertici di valenza 3
30 spigoli	à	30 quadrati	ß	30 spigoli
12 vertici di valenza 5	à	12 pentagoni	ß	12 facce pentagoni

Abbiamo creato un file per mezzo del quale, cliccando sulla figura, si vede come si può passare con continuità dall’icosaedro al rombicosidodecaedro e poi al dodecaedro (serve il Plug-in di Cabri 3D) per mezzo di espansioni.

Figura 7

Ci rimane da considerare l’espansione di un tetraedro.

Con il procedimento usuale ci rendiamo conto che, traslando le facce di un tetraedro di un’opportuna distanza si ottiene un poliedro archimedeo. Il poliedro archimedeo che otteniamo ha come facce:

                4 triangoli equilateri che sono le traslazioni delle 4 facce triangolari del tetraedro

                6 quadrati che sono le espansioni dei 6 spigoli del tetraedro

4 triangoli  che sono le espansioni dei 4 vertici del tetraedro. Sono triangoli perché in ogni vertice del tetraedro ha valenza 3.

Il poliedro ha quindi come facce:

                8 triangoli equilateri

                6 quadrati

Inoltre in ogni suo vertice convergono un triangolo (espansione di un vertice), un quadrato (espansione di uno spigolo), un triangolo (traslazione di una faccia del tetraedro) e un quadrato (espansione di uno spigolo).

Abbiamo quindi un poliedro archimedeo di tipo (3,4,3,4).

Abbiamo creato un file che mostra l’espansione.

Figura 8 

Conosciamo questo poliedro: è un cubottaedro. Cliccando sulla figura  (serve il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando P si può vedere come si passa da un tetraedro a un cubottaedro per mezzo di un’espansione.