Piano Lauree Scientifiche – Progetto Archimede

LICEO SCIENTIFICO NOMENTANO

Giorgia Martella, Francesco Teofani, Davide Ferrara, Lorenzo Trincone, Daniele Durante, Sofia Servoli

Troncamento dei vertici di un cubo

Vogliamo mostrare come, a partire da un cubo, si possa passare ad un poliedro archimedeo troncando i vertici del cubo per  mezzo di piani che intersecano gli spigoli concorrenti in un vertice del cubo in punti aventi la stessa distanza dal vertice stesso.

Per far ciò, dopo aver costruito un cubo usando l’apposito comando di Cabri 3D, abbiamo  innanzitutto fissato un vertice A del cubo. Abbiamo poi disegnato il piano π passante per i punti medi M, M’, M’’, degli spigoli del cubo concorrenti in A. Abbiamo poi disegnato un punto P del segmento AM e abbiamo disegnato il piano π’ passante per P e parallelo a π. Abbiamo infine sezionato il tetraedro con il piano π’. Abbiamo così ottenuto un poliedro che è dato dal cubo a cui è stato troncato il vertice A.

Per troncare il vertice B abbiamo considerato innanzitutto la retta r passante per il centro del cubo e perpendicolare alla faccia ABCD del cubo. Abbiamo poi considerato la trasformazione dello spazio data dalla rotazione di 90° intorno a una retta r che porta il vertice A nel vertice B.

Questa trasformazione porta il cubo nel cubo stesso e quindi è una simmetria del cubo. Abbiamo quindi considerato l’immagine del piano π’  attraverso questa simmetria. Si tratta di un piano π’’ che interseca gli spigoli del cubo in punti aventi da B la stessa distanza d che ha P da A. Abbiamo quindi sezionato il nostro poliedro con il piano π’’. Così facendo abbiamo troncato al tetraedro i vertici A e B. In modo analogo abbiamo troncato tutti gli altri vertici del cubo.

Alla fine abbiamo ottenuto il seguente poliedro

Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P si osserva come si modifica il poliedro. Osserviamo che quando il punto P coincide con il vertice A, abbiamo il nostro cubo di partenza. Quando il punto P coincide con il punto M abbiamo un poliedro formato da sei quadrati e otto triangoli. Si tratta di un poliedro archimedeo chiamato cubottaedro. Muovendo il punto P da A a M passiamo quindi con continuità dal cubo al cubottaedro.

Abbiamo salvato il nostro file con il nome da_cubo_a_cubottaedro.

Osserviamo come è fatto il nostro poliedro quando il punto P è interno al segmento AM.

Abbiamo un poliedro le cui facce sono:

- otto triangoli equilateri; uno per ogni vertice del cubo.

- sei ottagoni; uno per ogni faccia del cubo.

C’è un punto T del segmento AM  tale che, quando P Si trova in T, gli ottagoni sono regolari.

Abbiamo determinato il punto T  in questo modo: abbiamo tracciato le diagonali del quadrato ABB’A’, che è una faccia del cubo. Abbiamo indicato con O la loro intersezione, quindi abbiamo trovato il centro del quadrato. Abbiamo disegnato la circonferenza circoscritta al quadrato di centro O passante per A. Abbiamo trovato i punti medi dei lati del quadrato, quindi abbiamo tracciato la retta passante per i punti medi opposti tra loro. Abbiamo indicato con A’’, B’’, C’’, D’’ le intersezioni di queste ultime con la circonferenza circoscritta al quadrato di centro O. Abbiamo così ottenuto un secondo quadrato. Abbiamo poi definito il punto T come l’intersezione del lato AB del primo quadrato con il lato A’’B’’ del secondo quadrato.

Abbiamo quindi nascosto gli enti geometrici che ci sono serviti per ottenere il punto T.

Abbiamo così ottenuto la seguente figura.

Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P da A a T si passa con continuità dal cubo ad un poliedro che ha come facce triangoli equilateri e ottagoni regolari. Inoltre in ogni vertice di quest’ultimo poliedro convergono un triangolo e due ottagoni. Si ha cioè un poliedro archimedeo di tipo (3,8,8), che viene chiamato cubo tronco (o troncato).

Se invece si muove il punto P da T a M si passa con continuità dal cubo tronco al cubottaedro.