Piano Lauree Scientifiche – Progetto Archimede

LICEO SCIENTIFICO NOMENTANO

Matteo Alfarano, Seheaime Ali, Marco Angioli, Riccardo Ceridono

Andrea Cilla, Emanuele Mai,  Gilla Mazzanti, Daniel Micarelli

Simona Pucci, AntonioTolomeo, Marzia Trillo, GiulianoVenditti

Troncamento dei vertici di un icosaedro

Vogliamo mostrare come, a partire da un  icosaedro, si possa passare ad un poliedro archimedeo troncando i vertici del icosaedro per mezzo di piani che intersecano gli spigoli concorrenti in un vertice del icosaedro in punti aventi la stessa distanza dal vertice stesso.

Per far ciò, dopo aver costruito un icosaedro usando l’apposito comando di Cabri 3D, abbiamo  innanzitutto fissato un vertice A del icosaedro.

Abbiamo poi disegnato il piano π passante per i punti medi M, M’, M’’, M’’’, M’’’’ degli spigoli del icosaedro concorrenti in A.

Abbiamo poi disegnato un punto P del segmento AM e abbiamo disegnato il piano π’ passante per P e parallelo a π.

Abbiamo infine sezionato l’icosaedro con il piano π’.

Abbiamo così ottenuto un poliedro che è dato dall’icosaedro a cui è stato troncato il vertice A.

Per troncare il vertice C abbiamo considerato innanzitutto la retta r passante per il terzo vertice D della faccia ACD dell’icosaedro e per il vertice dell’icosaedro opposto a D.

Abbiamo poi considerato la trasformazione dello spazio data dalla rotazione  intorno alla retta r che porta il vertice A nel vertice C.

Questa trasformazione porta l’icosaedro nell’icosaedro stesso e quindi è una simmetria dell’icosaedro. Abbiamo quindi considerato l’immagine del piano π’  attraverso questa simmetria.

Si tratta di un piano π’ ‘ che interseca gli spigoli dell’icosaedro in punti aventi da C la stessa distanza d che ha P da A.

Abbiamo quindi sezionato il nostro poliedro con il piano π’ ‘.

Così facendo abbiamo troncato all’icosaedro i vertici A e C.

Abbiamo poi troncato tutti gli altri vertici in modo analogo. Alla fine abbiamo ottenuto il seguente poliedro

.

Cliccando sulla figura e trascinando il punto P, (occorre il Plug-in di Cabri 3D) si osserva come si modifica il poliedro.

Osserviamo che quando il punto P coincide con il vertice A, abbiamo il nostro icosaedro di partenza.

Quando il punto P coincide con il punto M abbiamo un poliedro formato da 12 pentagoni regolari e 20 triangoli equilateri.

Si tratta di un poliedro archimedeo chiamato icosidodecaedro di tipo (3;5;3;5).

Muovendo il punto P da A a M passiamo quindi con continuità dall’icosaedro all’icosidodecaedro.

Abbiamo salvato il nostro file con il nome da_icosaedro_a_icosidodecaedro.

Osserviamo come è fatto il nostro poliedro quando il punto P è interno al segmento AM.

Abbiamo un poliedro le cui facce sono:

- dodici pentagoni regolari; uno per ogni vertice dell’icosaedro.

- venti esagoni; uno per ogni faccia dell’icosaedro.

C’è un punto T del segmento AM  tale che, quando P si trova in T, gli esagoni sono regolari.

Il punto T  si ottiene sezionando il segmento AB in tre parti congruenti fra loro.  

Abbiamo determinato il punto T  in questo modo:

abbiamo tracciato una retta s passante per A ed un punto qualsiasi B’ nello spazio,

abbiamo poi determinato il punto B’’ simmetrico di A rispetto a B’ e poi il punto B’’’ simmetrico di B’ rispetto a B’’

abbiamo tracciato la retta s’ passante per B’’’ e per A

abbiamo infine tracciato la retta s’’ parallela a s’ e passante per B’.

Il punto T è il punto di intersezione s’’ e il segmento AB.

Quando il punto P coincide con T si ha un poliedro che ha come facce pentagoni e esagoni regolari. Inoltre in ogni vertice di quest’ultimo poliedro convergono un pentagono e due esagoni. Si ha cioè un poliedro archimedeo di tipo (5,6,6), che viene chiamato icosaedro tronco (o troncato).

Abbiamo infine  ridefinito il punto P imponendo a P di appartenere al segmento AT ed abbiamo salvato il file con il nome da_icosaedro_a_icosaedro_tronco. 

Cliccando sulla figura e trascinando il punto P da A a T (occorre il Plug-in di Cabri 3D)  si vede come si passa dall’icosaedro all’icosaedro tronco.

Abbiamo poi ridefinito il punto P imponendo che appartenga al segmento TM e abbiamo salvato il file con il nome da_icosaedro_tronco_a_icosidodecaedro. 

Cliccando sulla figura e trascinando il punto P da T a M (occorre il Plug-in di Cabri 3D)  si vede come si passa si passa con continuità dall’icosaedro tronco all’icosidodecaedro.