Piano Lauree Scientifiche – Progetto Archimede

LICEO SCIENTIFICO NOMENTANO

Alice Cecchetti, Arianna Della Posta, Lavinia Guzzini,  

Francesca Monticelli, Marta Onorati, Elena Vecchio

Troncamento dei vertici di un ottaedro

Vogliamo mostrare come, a partire da un ottaedro, si possa passare ad un poliedro archimedeo troncando i vertici dell’ottaedro per mezzo di piani che intersecano gli spigoli concorrenti in un vertice dell’ottaedro in punti aventi la stessa distanza dal vertice stesso.

Per far ciò, dopo aver costruito un ottaedro regolare usando l’apposito comando di Cabri 3D, abbiamo  innanzitutto fissato un vertice A dell’ottaedro.

Abbiamo poi disegnato il piano π passante per i punti medi M, M’, M’’ degli spigoli dell’ottaedro concorrenti in A.

Abbiamo poi disegnato un punto P del segmento AM e abbiamo disegnato il piano π’ passante per P e parallelo a π. Abbiamo infine sezionato l’ottaedro con il piano π’.

Abbiamo così ottenuto un poliedro che è dato dall’ottaedro a cui è stato troncato il vertice A.

Per troncare il vertice B abbiamo considerato la trasformazione dello spazio data dalla rotazione intorno alla retta passante per C e D che porta il vertice A nel vertice B.  

Abbiamo poi considerato l’immagine del piano π’ attraverso questa rotazione.

Otteniamo un piano π’’. Sezionando il poliedro con il piano π’’ abbiamo troncato il vertice B.

Così facendo abbiamo troncato all’ottaedro i vertici A e B.

Abbiamo poi troncato i vertici C e D in modo analogo.

Alla fine abbiamo ottenuto il seguente poliedro

.

Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P si osserva come si modifica il poliedro.

Osserviamo che quando il punto P coincide con il vertice A, abbiamo il nostro ottaedro di partenza.

Quando il punto P coincide con il punto M abbiamo un poliedro formato da otto triangoli equilateri e sei quadrati.

Si tratta di un cubottaedro.

Muovendo il punto P da A a M passiamo quindi con continuità dall’ottaedro al cubottaedro.

Abbiamo salvato il nostro file con il nome da_ ottaedro_a_cubottaedro.

Osserviamo come è fatto il nostro poliedro quando il punto P è interno al segmento AM.

Abbiamo un poliedro le cui facce sono:

- sei quadrati; uno per ogni vertice dell’ottaedro.

- otto esagoni; uno per ogni faccia dell’ottaedro.

C’è un punto T del segmento AM  tale che, quando P coincide con T, gli esagoni sono regolari.

Il punto T è dato dalla suddivisione dello spigolo in tre parti.

Per determinare il punto T  abbiamo inizialmente considerato il punto medio L di AD e poi abbiamo considerato il punto Q simmetrico di L rispetto a D.

In tal modo il segmento AQ  misura il triplo del segmento AL.

Abbiamo tracciato la retta s passante per Q e B e la retta s’ passante per L e parallela a s.

Il punto T è l’intersezione della retta s’ con il segmento AB.

Abbiamo infine  ridefinito il punto P imponendo a P di appartenere al segmento AT. 

Abbiamo poi nascosto gli enti geometrici che ci sono serviti per determinare T.

Abbiamo ottenuto la seguente figura:

Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P da A a T si passa con continuità dall’ottaedro ad un poliedro che ha come facce quadrati e esagoni regolari.

Inoltre in ogni vertice di quest’ultimo poliedro convergono un quadrato e due esagoni.

Si ha cioè un poliedro archimedeo di tipo (4,6,6), che viene chiamato ottaedro tronco (o troncato).

Muovendo il punto P da T a M si passa con continuità dall’ottaedro tronco all’ottaedro.