Piano Lauree Scientifiche – Progetto Archimede

LICEO SCIENTIFICO NOMENTANO

Michele Coluccia, Matteo Michielan, Marta Rizzo, Caterina Rughetti

Troncamento dei vertici di un tetraedro

Vogliamo mostrare come, a partire da un tetraedro, si possa passare ad un poliedro archimedeo troncando i vertici del tetraedro per mezzo di piani che intersecano gli spigoli concorrenti in un vertice del tetraedro in punti aventi la stessa distanza dal vertice stesso.

Per far ciò, dopo aver costruito un tetraedro regolare usando l’apposito comando di Cabri 3D, abbiamo  innanzitutto fissato un vertice A del tetraedro.

Abbiamo poi disegnato il piano π passante per i punti medi M, M’, M’’ degli spigoli del tetraedro concorrenti in A.

Abbiamo poi disegnato un punto P del segmento AM e abbiamo disegnato il piano π’ passante per P e parallelo a π.

Abbiamo infine sezionato il tetraedro con il piano π’. Abbiamo così ottenuto un poliedro che è dato dal tetraedro a cui è stato troncato il vertice A.

Per troncare il vertice B abbiamo considerato la retta r passante per D e perpendicolare al piano contenente la faccia ABC del tetraedro.

Abbiamo poi considerato la rotazione intorno alla retta r  che porta il punto A nel punto  B.

Questa trasformazione porta il tetraedro nel tetraedro stesso e quindi è una simmetria del tetraedro.

Abbiamo poi considerato l’immagine del piano π’  attraverso questa simmetria.

Si tratta di un piano π’’ che interseca gli spigoli del tetraedro in punti aventi da B la stessa distanza d che ha P da A.

Abbiamo quindi sezionato il nostro poliedro con il piano π’’ . Così facendo abbiamo troncato al tetraedro i vertici A e B.

In modo analogo abbiamo troncato i vertici C e D.

Alla fine abbiamo ottenuto il seguente poliedro

.

Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D) e trascinando il punto P si osserva come si modifica il poliedro.

Osserviamo che quando il punto P coincide con il vertice A, abbiamo il nostro tetraedro di partenza.

Quando il punto P coincide con il punto M abbiamo un poliedro formato da 8 triangoli equilateri. Si tratta di un ottaedro.

Muovendo il punto P da A a M passiamo quindi con continuità dal tetraedro all’ottaedro.

Abbiamo salvato il nostro file con il nome da_tetraedro_a_ottaedro.

Osserviamo come è fatto il nostro poliedro quando il punto P è interno al segmento AM.

Abbiamo un poliedro le cui facce sono:

- quattro triangoli equilateri; uno per ogni vertice del tetraedro.

- quattro esagoni; uno per ogni faccia del tetraedro.

C’è un punto T del segmento AM  tale che, quando P si trova in T, gli esagoni sono regolari.

Il punto T è dato dall’ intersezione tra il segmento AM e la retta s parallela alla retta passante per M e M’ e  tangente alla circonferenza inscritta nel triangolo equilatero ABD.

Per determinare la retta s abbiamo prima costruito la circonferenza inscritta in ABD, che è la circonferenza con  centro

nel centro O del triangolo equilatero ABD e passante per M. Abbiamo poi determinato il punto Q di intersezione della

circonferenza con la retta passante per A e O. La retta s è la retta passante per Q e parallela alla retta passante per B e D. 

Si può dimostrare che il segmento AT misura un terzo del segmento AB.

Abbiamo poi nascosto tutti gli enti geometrici che ci sono serviti per trovare T. Abbiamo ottenuto la seguente figura

Cliccando sulla figura (occorre il Plug-in di Cabri 3D)  e trascinando il punto P da A a T si passa con continuità dal tetraedro ad un poliedro che ha come facce triangoli equilateri e esagoni regolari.

Inoltre in ogni vertice di quest’ultimo poliedro convergono un triangolo e due esagoni. Si ha cioè un poliedro archimedeo di tipo (3,6,6), che viene chiamato tetraedro tronco (o troncato).

Se trasciniamo il punto P da T a M  passiamo con continuità dal tetraedro tronco all’ottaedro.