DOMANDA 1
Vorremmo sapere per quale motivo nell’ es. n. 1 e 3 delle soluzioni del fac-simile d'esame,
nel verificare che certi vettori siano o meno una base Lei valuti solo la loro lineare indipendenza
 (considerando la matrice delle componenti rispetto alla base canonica) e non anche il fatto che siano o meno generatori.

RISPOSTA
Perche' c'e' il seguente teorema:
"Se n vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n sono linearmente indipendenti allora essi sono anche generatori dello spazio stesso, e quindi sono una base di esso."
Oppure, detto in altro modo:
"Un sottospazio di dimensione n di uno spazio vettoriale di dimensione n coincide con lo spazio stesso".
Provate a dimostrare cio'.
Se non ci riuscite e' bene che vi riguardiate le note del corso. Il teorema in questione e' infatti il teorema 4.7. delle note!

DOMANDA 2 
Esercizio 14.6 del capitolo "Endomorfismi e matrici simili":
 non ho ben capito come si arriva a dire che 
f(V2) appartiene al ker f^2 - ker f e quindi come determino V2 e V1.

RISPOSTA
Facendo i calcoli ci si accorge  che A^2=0.
Ne segue che ker f^2=R^2.
Si deve quindi scegliere un vettore v_2 che stia in ker f^2 (e quindi qualsiasi vettore verifica questa prima condizione) ma che non stia in Ker f. 
Si puo' per esempio prendere v_2=(1,0), infatti la sua immagine non e' nulla. Si prende poi v_1=f(v_2)=(6,-4).