GEOMETRIA E ALGEBRA

LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA GESTIONALE

Prova scritta del 8 gennaio 2009 Tempo assegnato: 2 ore.

PRIMO ESERCIZIO [8 punti]

Determinare, se esistono, due matrici A e B di ordine 3 e di rango 2 tali che la matrice A · B abbia rango uguale a 2. Determinare, se esistono, due matrici A e B di ordine 3 e di rango 2 tali che la matrice A · B abbia rango uguale a 1. Determinare, se esistono, due matrici A e B di ordine 3 e di rango 2 tali che la matrice A · B abbia rango uguale a 0. SECONDO ESERCIZIO [7 punti] Determinare tutte le soluzioni del se-

guente sistema di equazioni lineari a coefficienti nel campo ℤ_{23}:

\{ \begin{matrix}+[24]_{23}x + [1]_{23}y + [1]_{23}z & = & [1]_{23} \\ +[7]_{23}x + [5]_{23}y + [20]_{23}z & = & [2]_{23} \\ −[8]_{23}x + [17]_{23}y + [2]_{23}z & = & [20]_{23} \end{matrix}

TERZO ESERCIZIO [8 punti] Si consideri lo spazio vettoriale ℝ^{4}[x].

Sia E il sottospazio vettoriale avente come base v_{1} = 1 + x e v_{2} = 1 + x + x^{2} + x^{3}. Sia F il sottospazio vettoriale avente come base v_{3} = x^{2} + x^{3} e v_{4} = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3}.

1. Determinare una base di E + F

2. Determinare, se esiste, una base di E ∩ F

3. Determinare una base di un sottospazio G, supplementare di E in ℝ^{4}[x]

QUARTO ESERCIZIO [8 punti] Sia data la seguente matrice:

A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

1. Determinare tutte le matrici di Jordan simili alla matrice A

2. Scelta una matrice di Jordan J simile ad A, determinare una matrice invertibile M tale che si abbia J = M^{−1}AM