Introduzione alle quattro principali EDP
lineari (trasporto, onde, Laplace, calore) attraverso metodi
costruttivi e soluzioni classiche. Qualche digrssione su EDP
non lineari (per esempio l'equazione di Burgers), sui metodi
di energia e sui concetti di soluzione debole.
An introduction to the four main linear PDEs (transport,
wave, Laplace, heat) through constructive methods and
classical solutions. Some digression on nonlinear PDEs (e.g.
Burgers equation), enegy methods, and weak solutions. Lezioni svolte e calendario indicativo
Le
lezioni si tengono con cadenza settimanale fino a Natale
nell'edificio E di San Pietro in Vincoli, il mercoledi dalle ore
14 alle ore 16.00. Al bisogno, possono essere spostate al venerdi
in via Scarpa.
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04.10.2016. (aula Pal. E, SPV) Introduzione: equazioni alle
derivate parziali, ordine, linearitā, omogeneitā, buona
positura. Equazione del trasporto lineare a coefficienti
costanti: invarianze e riscalmenti; metodo delle
caratteristiche, soluzione esplicita del problema di Cauchy
nel caso omogeneo e non-omogeneo.
* 12.10.2016. (aula Pal. E,
SPV) Leggi di
conservazione nonlineare: equazione di Burgers, metodo delle
caratteristiche, formazione di shock, soluzione
distribuzionale, condizione di Rankine-Hugoniot.
* 19.10.2016. (aula Pal. E,
SPV) Onde di
rarefazione e fenomeni di non unicitā. Condizioni di
entropia e criteri di unicitā. Equazione delle onde
omogenea. Riscalamenti. Caratterizzazione delle soluzioni
per N=1.
* 25.10.2016 (aula Pal. E,
SPV) Formula di
D'Alambert in R. Metodo di riflessione, formule di
D'Alambert nel semipiano. Equazione di Laplace. Motivazioni.
Soluzioni radiali non banali, soluzione fondamentale.
Integrali impropri in R^N.
* 02.11.2016 (aula Pal. E,
SPV) Continuitā
uniforme. Convergenza di successioni di funzioni. Passaggio
al limite sotto il segno di integrale.
* 09.11.2016 (aula Pal. E,
SPV) Teorema di
esistenza per l'equazione di Poisson in R^N.
* 16.11.2016 (aula Pal. E,
SPV) Interpretazione
mediante distribuzioni e delta di Dirac. Funzioni armoniche.
Proprietā di media. Insiemi connessi.
Principio di massimo forte.
* 23.11.2016 (aula Pal. E,
SPV) Unicitā della
soluzione (due metodi dimostrativi: principio di massimo
forte, metodi di energia). Principio di Dirichlet. Equazione di
Eulero-Lagrange.
* 02.12.2016 (aula 1E, SBAI) Equazione del calore.
Motivazioni. Soluzione fondamentale del problema di Cauchy.
Velocitā di propagazione infinita.
* 09.12.2016 (aula 1B1, SBAI) Equazione del calore non
omogenea: esistenza, metodo di Duhamel. Principio di massimo
debole. Tipici problemi al contorno (condizioni naturali,
condizioni essenziali). Unicitā della soluzione (due metodi
dimostrativi: principio di massimo debole, metodi di
energia).
* 16.12.2016 (aula 1B1, SBAI). Introduzione alla
minimizzazione di funzionali. Metodo indiretto. Equazione di
Eulero-Lagrange. Convessitā e unicitā. Metodo diretto. Cenni a
misura e integrale di Lebesgue. Spazi di Banach. Spazi L^p.
* 20.12.2016 (aula Pal. E,
SPV) Derivate distribuzionali. Spazi di Sobolev. Spazi
di Sobolev uniformemente convessi. Concetto di compattezza
debole. Semicontinuitā inferiore della norma rispetto alla
convergenza debole. Teorema di Kakutani. Teoremi di
esistenza di minimi di un funzionale.
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didattica