Introduzione alle Equazioni
alle Derivate Parziali
A.A. 2017/2018
Percorso di eccellenza in
Ingegneria
Aerospaziale Docenti: Andrea Dall'Aglio,
Lorenzo Giacomelli
Abstract
Introduzione alle quattro principali EDP
lineari (trasporto, onde, Laplace, calore) attraverso metodi
costruttivi e soluzioni classiche. Qualche digrssione su EDP
non lineari (per esempio l'equazione di Burgers), sui metodi
di energia e sui concetti di soluzione debole.
An introduction to the four main linear PDEs (transport,
wave, Laplace, heat) through constructive methods and
classical solutions. Some digression on nonlinear PDEs (e.g.
Burgers equation), energy methods, and weak solutions. Lezioni svolte
* 21.12.2017 (LG)
Cenno alla minimizzazione di funzionali: metodi diretti
e indiretti; semi-continuitą inferiore; esistenza del
minimo per funzionali inferiormente limitati, s.c.i. e
coercivi; convergenza debole e funzionali debolmente
s.c.i.; teorema di rappresentazione di Riesz; spazi
uniformemente convessi; teorema di Kakutani; esistenza
del minimo per funzionali inferiormente
limitati, debolmente s.c.i. e coercivi.
* 14.12.2017 (LG) Cenno alla teoria di soluzioni deboli per
problemi ellittici: formulazione debole; spazi vettoriali
normati e completi; prodotto scalare e spazi di Hilbert;
teorema di Lax-Milgram; misura di Lebesgue e spazi L^p;
derivata distribuzionale; spazi di Sobolev; esistenza e
unicitą di soluzioni per equazioni ellittiche lineari.
* 07.12.2017 (LG)
Equazione del trasporto lineare. Invarianze. Soluzione
del problema di Cauchy. Leggi di conservazione non
lineare. Metodo delle caratteristiche. Soluzione
distribuzionale. Condizione di Rankine-Hugoniot.
*
30.11.2017 (LG) Soluzione del problema di Cauchy. Velocitą di
propagazione infinita. Problema di Cauchy non
omogeneo: costruzione della soluzione con il metodo
di Duhamel. Principio di massimo debole in domini
limitati. Tipici problemi al contorno (condizioni
naturali, condizioni essenziali). Unicitą della
soluzione (due metodi dimostrativi: principio di
massimo debole, metodi di energia).
* 22.11.2017 (LG)
Equazione del calore. Invarianze. Soluzioni autosimilari.
Soluzione fondamentale in R^N. Lemmi propedeutici.
* 17.11.2017 (Andrea Dall'Aglio) Problema di
Dirichlet nel semispazio. Principio di Dirichlet. Equazione di
Eulero-Lagrange.
* 10.11.2017 (Andrea Dall'Aglio) Funzione di Green nel
semispazio. Funzione di Green nella sfera. Unicitą con
metodi di energia.
* 03.11.2017 (Andrea Dall'Aglio) Formula di rappresentazione
per il problema di Dirichlet. Funzione di Green.
* 27.10.2017 (Andrea Dall'Aglio) Funzioni armoniche.
Teoremi di derivazione sotto integrale. Proprietą di media.
Insiemi connessi. Principi di massimo forte e
debole. Unicitą della
soluzione del problema di Dirichlet. Disuguaglianza
di Harnack.
* 24.10.2017 (Andrea Dall'Aglio) Teoremi di passaggio al
limite sotto il segno di integrale. Teorema della
divergenza. Dimostrazione
del teorema di esistenza per l'equazione di Poisson
in R^N. Interpretazione mediante
distribuzioni e delta di Dirac.
* 17.10.2017 (Andrea Dall'Aglio)
Introduzione. Equazione di
Laplace. Motivazioni. Soluzioni radiali non banali,
soluzione fondamentale. Integrali impropri in
R^N. Teorema di esistenza
per l'equazione di Poisson in R^N.
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