CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2

LORENZO GIACOMELLI E RICCARDO DURASTANTI

A.A.  2019-2020

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.

2- 25.02. Introduzione. R^N. Punti e vettori (applicati) in R^N, rappresentazioni, operazioni. Modulo e distanza (euclidea). Coordinate polari. Curva. Rappresentazione di una curva. Sostegno. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Curva polare.
4- 26.02. Vettore velocita` e sua rappresentazione.  Velocita` scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Retta tangente al sostegno di una curva. Vettore accelerazione. Accelerazione scalare. Lunghezza di una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo della lunghezza. Ascissa curvilinea. 
6- 27.02. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie). Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). L'integrale curvilineo di I specie è invariante per curve equivalenti. Densità lineare, massa, centro di massa e baricentro di un filo curvilineo. EDO: ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità. EDO del I ordine lineari omogenee:  struttura dell'integrale generale, Problema di Cauchy.
8- 28.02. EDO lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale.

10- 03.03. Problema di Cauchy. Problema con condizioni al contorno. EDO lineari omogenee di ordine n a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale. EDO lineari non omogenee:  struttura dell'integrale generale.
12- 04.03. EDO lineari non omogenee: metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza per EDO a coefficienti costanti.
 - 05.03. SOSPENSIONE DELLA  DIDATTICA
- 06.03. SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA

15- 09.03, ORE 10-13 (**) EDO del I ordine a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy, controesempi, intervallo massimale di esistenza.
18- 10.03, ORE 14-17. (**) Riduzione dell'ordine di una EDO: caso banale, metodo della variazione delle costanti (di D'Alambert). Classi particolari di EDO: equazioni di Eulero.
21- 11.03, ORE 10-13. (**) Equazioni di Eulero. Equazioni autonome del secondo ordine.
24- 12.03. ORE 14-17. (**) Altri cambiamenti di variabile. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico. Insiemi di livello. Simmetria di rotazione rispetto a un asse.
27- 13.03. ORE 10-13. (**) Intorni sferici, punti di accumulazione. (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Continuità. Proprietà elementari del limite e delle funzioni continue. Non esistenza del limite.

29. 17.03 (*) Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente.
31- 18.03  (*) Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali e del gradiente. Regola della catena. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili.
33- 19.03  (*) Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili.  Il teorema del differenziale totale. Il gradiente come direzione di massima crescita. Regola della catena per funzioni composte con curve.  Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat.
35- 20.03 (*) Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici.

37- 24.03  (*) Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione). 
39- 25.03 (*) Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto.
41 - 26.03 (*) Punto regolare di un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.  Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare.  Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.
43 - 27.03  (*) Determinazione degli estremi assoluti vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto e metodo dei moltiplicatori.

45 - 31.03 (*) Campi vettoriali: proprietà di base, rappresentazione grafica. Forme differenziali.  Integrale di un campo vettoriale lungo una curva (o integrale curvilineo di II specie). Proprietà. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso.
47 - 01.04  (*) Insieme connesso (per archi). Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale. 
49- 02.04  (*) Calcolo del lavoro di un campo vettoriale (conservativo). Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3.  Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali.
51 - 03.04 (*) Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse, ma il viceversa e` falso: il campo di induzione magnetica. Curve omotope. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse su insiemi semplicemente connessi sono esatte.
53 - 07.04 (*) Prima relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie.  Integrali doppi su rettangoli. Proprietà e teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili.
55 - 08.04 (*) Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili. Classi di insiemi misurabili. Integrali doppi e integrabilità su insiemi misurabili. Proprietà, teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili. 

57 - 15.04 (*) Domini semplici o normali rispetto a un asse in R^2. Area di un dominio semplice/normale.  Formule di riduzione sui domini normali. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.
59 - 16.04 (*) Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Baricentro di un insieme nel piano. Massa e centro di massa di una lamina non omogenea.
61 - 17.04 (***) Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice jacobiana, determinante jacobiano, interpretazione geometrica. Coordinate polari. Coordinate ellittiche.

63 - 21.04 (*) Coordinate polari ed ellittiche: esempi.
65 - 22.04 (*) Altri cambi di coordinate. Riepilogo sulle simmetrie (rispetto a un asse, rispetto a una retta, rispetto a un punto, radiale).
63- 23.04 (*) Orientazione positiva della frontiera di domini semplici. Formule di Green su domini semplici rispetto a entrambi gli assi di R^2.  Domini regolari a tratti. Orientazione positiva della frontiera di domini regolari a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. 
65 .- 24.04 (*)  Area di un dominio regolare a tratti.  Divergenza di un campo vettoriale. Versore normale esterno alla frontiera di un dominio regolare a tratti.  Seconda relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie.  Flusso di un campo vettoriale piano uscente da un sottoinsieme di R^2.

 67- 28.04 (*) Calcolo del flusso uscente attraverso la definizione. Teorema della divergenza in R^2. La divergenza come densita' di flusso uscente per unità di area. Formula di integrazione per parti in R^2. Operatore di Laplace.
69 - 29.04 (*)  Teorema del rotore in R^2: dimostrazione diretta.  Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.  Riepilogo: integrali curvilinei di I e II specie: formule e relazioni.
(RD) 71 - 30.04 (*) Esempi di riepilogo.
01.05 FESTIVITA' NAZIONALE

73 - 05.05 (*) Integrali tripli. Proprietà. Volume, baricentro, massa e centro di massa di un solido. Integrazione per fili.
75 - 06.05 (*) Integrazione per strati. Solidi di rotazione. Volume di solidi di rotazione.
77 - 07.05 (*) Cambiamenti di variabile negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche.
79 - 08.05 (*) Integrali tripli: esempi di riepilogo.

(RD) 81 - 12.05 (*) Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie.
(RD) 83 - 13.05 (*) Punti regolari.  Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari e regolari a tratti.
(RD) 85 - 14.05 (*) Superfici di rotazione. Elemento d’area. Area di una superficie.
(RD) 87 - 15.05 (*) Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di funzione su una superficie.

(RD) 89 - 19.05 (*) Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.
(RD) 91 - 20.05 (*) Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.
(RD) 93 - 21.05 (*) Orientazione del bordo di una superficie orientabile. Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa. Teorema del rotore in R^3.
(RD) 95 - 22.05 (*) Esempi di riepilogo.

97 - 26.05 (*) La divergenza come densità di flusso uscente per unità di volume.  Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.  Formule di integrazione per parti in R^3. . Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità e differenziale. Regola della catena. Insiemi convessi. Funzioni convesse. Criterio differenziale di convessità.  
99 - 27.05 (*) Simulazione di prova d'esame. Esempi di riepilogo.
101 - 28.05 (*) Polinomi trigonometrici. Polinomio di minima distanza quadratica media da una funzione continua.  Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier.
103- 29.05 (*) Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Serie di Fourier di funzioni 2L-periodiche. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier. Esempi di riepilogo.

(*) DIRETTA STREAMING ORARIO REGOLARE
(**) DIRETTA STREAMING A CANALI RIUNITI
(***) STREAMING IN DIFFERITA

SEGUE IL CALENDARIO DELL'ANNO PRECEDENTE - LE LEZIONI VERRANNO VIA VIA ESPUNTE


Equazione di continuità.
 
Estremo superiore e inferiore e massimi e minimi su un insieme illimitato.

Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2.  Calcolo della derivata prima della funzione implicita.  Calcolo delle derivate successive della funzione implicita. Riformulazione del Teorema di Dini. Controesempi al teorema di Dini. Applicazioni del teorema.

Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuità e derivabilità. Derivata di integrali dipendenti da un parametro in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro.

Metodo di Eulero esplicito per la simulazione numerica delle soluzioni. Sistemi di EDO. Teorema di esistenza e unicità di Cauchy per sistemi.  Piano delle fasi. Soluzioni stazionarie stabili, asintoticamente stabili, instabili. Stabilità di soluzioni stazionarie di EDO del I ordine autonome.

Il teorema di Dini in R^3. Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con un vincolo. 
Applicazione: esistenza della soluzione del problema della corda vibrante.