CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2011-2012

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di esempi, contresempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

CALENDARIO DELLE LEZIONI SVOLTE
 
27.02  Richiami sullo spazio vettoriale  R^N. Funzioni da R^N in R^M: dominio naturale, insiemi di livello, curve, campi vettoriali.
29.02  Cenni di topologia in R^N: distanza euclidea, intorni (sferici), punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi, punti di accumulazione.Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite. Continuita`.
01.03 Invarianze di R^N. (R^N)^*. Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite.
02.03  Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Differenziabilita`. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita.

05.03 (CC) Equazioni differenziali ordinarie. Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea.
07.03 Il teorema del differenziale totale. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat.
08.03 Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine.
09.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili.

12.03 Integrale doppio e integrabilita` di funzioni definite su un rettangolo. Proprieta` elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili del piano.
14.03 Integrali doppi su insiemi misurabili. Proprieta` elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili. Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali.
15.03 Densita`, massa e baricentro di una lamina piana. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile.
16.03 Matrice Jacobiana. Cambiamenti di variabile negli integrali doppi. Coordinate polari.

19.03 Integrali doppi: coordinate ellittiche, altri cambi di coordinate.
20.03 Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per strati, integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse. Domini semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione per fili e per strati. Massa e baricentro di un solido.
21.03 Volume di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate cilindriche.
22.03 Coordinate sferiche.

25.03 Curva. Curva semplice. Curva chiusa. Orientazione di una curva. Curva piana.  Curva di classe C^1. Vettore velocita`. Vettore accelerazione. Velocita` scalare. Accelerazione scalare. Curva regolare e vettore tangente a una curva. Regola della catena. Curva rettificabile e sua lunghezza. Curve cartesiane e loro lunghezza.
27.03 Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione.

28.03-03.04 (CC)  Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari: struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. Equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea. Equazioni differenziali ordinarie, II parte. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: struttura dell'integrale generale, metodo di somiglianza. Oscillatore armonico.

04-10-04 VACANZE PASQUALI

11.04 Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale). Proprieta`. Forme differenziali esatte (e campi conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Determinazione della funzione potenziale.
12.04  Rotore di un campo vettoriale di R^3. Forme differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).
13.04 Caratterizzazione delle forme esatte. Curve omotope in un insieme. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte. Curve di classe C^1 a tratti. Curve regolari a tratti. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti. 

16.04 (CC ) Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti.
18.04 Formule di Green su domini di R^2 in domini regolari a tratti. Domini di Green e orientazione della loro frontiera. Divergenza di un campo vettoriale. Versore normale esterna a un dominio di Green. Teorema della divergenza in R^2. 
19.04 Area di un dominio di Green. Rotore di un campo vettoriale piano. Teorema del rotore in R^2. Applicazioni dei teoremi della divergenza e del rotore.
20.04 Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.

23.04 Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari. Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie.
26.04 Area di superfici di rotazione. Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.
27.04 Teorema della divergenza in R^3. Formule di integrazione per parti in R^3. Operatore di Laplace.

30.04 SOSPENSIONE DELL'ATTIVITA` DIDATTICA
02.05 Superfici invertibili. Orientazione del bordo di una superficie regolare invertibile. Teorema del rotore in R^3.
03.05 (CC) Problema di Cauchy. Riduzione dell'ordine di una EDO. Equazioni differenziali ordinarie di ordine superiore al secondo.
04.05 Superfici composte. Integrale di funzione su superfici composte. Teoremi della divergenzxa e del rotore su superfici composte. 

07.05 Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2. Curve di livello. Funzione implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Punto regolare di un insieme di livello.
09.05 Successioni a valori vettoriali. Compattezza per successioni. Caratterizzazione dei compatti di R^N. Teorema di Weierstrass. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti.
10.05 Complementi ed esempi di riepilogo su forme differenziali chiuse ed esatte.
11.05 Conseguenze del teorema delle funzioni implicite. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.
 
14.05 Estremi vincolati in R^2 ed estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 
16.05 Esempi di riepilogo su estremi vincolati in R^2 ed estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti.
17.05
18.05 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

21.05 (CC ) Alcune classi particolari di edo: equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome del secondo ordine e relativi problemi di Cauchy.
23.05 (CC ) Oscillatore armonico con condizioni al bordo omogenee. Armoniche. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni periodiche e continue a tratti. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier.
24.05 (CC ) Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Esempi di sviluppo in serie di Fourier. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni non periodiche definite su
intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.
25.05 Esercizi di riepilogo.

Limite di funzioni a valori vettoriali.

Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`.

Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte differenziabili.

  ascissa curvilinea (parametro d'arco).