CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2012-2013

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietā, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.


FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI A VALORI REALI

Richiami sullo spazio vettoriale  R^N. Funzioni da R^N in R^M: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello, curve, campi vettoriali. Cenni di topologia in R^N: distanza (euclidea), intorni (sferici), punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi, punti di accumulazione. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in R^2. Invarianze di R^N. (R^N)^*. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite. Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Limite di funzioni a valori vettoriali. Successioni a valori vettoriali e loro limite. Continuita`. Caratterizzazione dei compatti di R^N. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Gradiente. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Funzioni derivabili. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietā elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale. Punti critici (stazionari). Il teorema di Fermat. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Matrice Hessiana. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Natura dei punti critici interni. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrale doppio e integrabilita` di funzioni definite su un rettangolo. Proprieta` elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili del piano. Integrali doppi su insiemi misurabili. Proprieta` elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili. Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Matrice Jacobiana. Cambiamenti di variabile negli integrali doppi. Passaggio in coordinate polari, passaggio in coordinate ellittiche, e altri cambi di coordinate. Area di una figura piana. Densita`, massa e baricentro di una lamina piana.
Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per strati, integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse. Domini semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione per fili e per strati. Volume di un solido. Massa, densita` e baricentro di un solido. Volume di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Passaggio in coordinate cilindriche e sferiche.

CURVE E INTEGRALI DI FUNZIONI SU CURVE (INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE)

Curva. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva di Jordan. Orientazione positiva di una curva di Jordan. Curva di classe C^1 (a tratti). Vettore velocita`, velocita` scalare, vettore accelerazione, accelerazione scalare. Curva regolare (a tratti) e vettore tangente a una curva. Versore tangente. Retta tangente. Regola della catena. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). Curva rettificabile e sua lunghezza. La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. Lunghezza di una curva cartesiana. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo.  Integrale curvilineo di una funzione. Ascissa curvilinea.

FORME DIFFERENZIALI E INTEGRALI CURVILINEI DI FORME DIFFERENZIALI (INTEGRALI CURVILINEI DI SECONDA SPECIE)

Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale). Proprieta`. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso. Forme differenziali esatte (e campi conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso). Curve omotope in un insieme. Insieme connesso. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari. Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie.Massa e baricentro di una lamina (omogenea e non omogenea). Area di superfici di rotazione. Superfici orientabili. Orientazione del bordo. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie. Circuitazione di un campo vettoriale lungo il bordo di una superficie. Superfici composte.

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 con frontiera regolare a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Area di un dominio regolare a tratti. Teorema della divergenza in R^2. Area di un dominio regolare a tratti.  Formule di integrazione per parti in R^2. Teorema del rotore in R^2. Applicazioni dei teoremi della divergenza e del rotore. Teorema della divergenza in R^3. Formule di integrazione per parti in R^3. Operatore di Laplace. La divergenza come densita` di flusso per unita` di area. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per unita` di area.

IL TEOREMA DELLE FUNZIONI IMPLICITE IN R^2 E ALCUNE SUE APPLICAZIONI

Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2. Curve di livello. Funzione implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Contresempi al teorema di Dini.  Calcolo della derivata prima e delle derivate successive della funzione implicita. Insieme di livello. Punto regolare di un insieme di livello. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare.  Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello.  Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Estremi vincolati in R^2. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Equazioni differenziali ordinarie: ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. Equazioni a variabili separabili. Funzioni lipschitziane. Le funzioni di classe C^1 sono localmente lipschitziane. Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Conseguenza: dimostrazione della struttura dell'integrale generale per equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di Cauchy. Oscillatore armonico smorzato e forzato. Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo di somiglianza. Riduzione dell'ordine di una EDO: caso banale, metodo della variazione delle costanti. Cambiamenti di variabile e alcune classi particolari di edo: equazioni di Eulero, equazioni di Bernoulli, equazioni autonome e relativi problemi di Cauchy.

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilitā di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Teorema di  sviluppabilitā di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Fenomeno di Gibbs. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.