CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2012-2013

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

25.02 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA DI FACOLTA` CAUSA ELEZIONI POLITICHE NAZIONALI
26.02 (CC) Richiami: funzioni periodiche e loro proprietà. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie.
27.02 (CC) Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Fenomeno di Gibbs. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.
01.03 Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello. Distanza (euclidea), intorni (sferici), punti di accumulazione. (R^N)^*. Definizione di limite.

04.03 Proprieta` elementari del limite. Continuita`. Non esistenza del limite. Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
05.03 Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi.Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali.
06.03  Funzioni derivabili. Gradiente.  Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita.
08.03 Il teorema del differenziale totale. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Matrice Hessiana. Il Teorema di Peano al secondo ordine.

09.03 Teorema di Schwarz. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Natura dei punti critici. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2.
10.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili. Curva. Curva semplice. Curva chiusa. Orientazione di una curva. Curva piana.  Curva di classe C^1. Vettore velocita`. Vettore accelerazione. Velocita` scalare. Accelerazione scalare. Curva regolare e vettore tangente a una curva.
11.03 Regola della catena. Curva rettificabile e sua lunghezza.  Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione.
13.03 Curve cartesiane e loro lunghezza. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie). Ascissa curvilinea (parametro d'arco).

16.03 Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti.
17.03 Funzione implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Calcolo della derivata prima e delle derivate successive della funzione implicita. Equazione parametrica e cartesiana della retta tangente a un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello.
18.03 Punto regolare di un insieme di livello. Contresempi al teorema di Dini. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Estremi vincolati in R^2.
20.03 Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 

25.03 (CC) Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli.
26.03 (CC) Integrali doppi su insiemi più generali. Esempi di funzioni non integrabili.  Insiemi misurabili del piano. Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili. Proprietà elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili.
27.03 (CC) Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.
29.03 VACANZE PASQUALI

01.04 VACANZE PASQUALI
02.04 VACANZE PASQUALI
03.04 (CC) Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Coordinate polari. Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Coordinate ellittiche.
05.04 (CC) Altri cambi di coordinate. Esempi vari. Alcune applicazioni fisiche degli integrali doppi: densità superficiale di massa e massa di una lamina piana. Baricentro di una lamina piana sia omogenea che non omogenea.

08.04 Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale). Proprieta`. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso. Forme differenziali esatte (e campi conservativi).
09.04 L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3.
10.04 Forme differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).  Curve omotope in un insieme. Insieme connesso. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte.
12.04 Divergenza di un campo vettoriale. Curve di classe C^1 a tratti. Curve regolari a tratti. Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti.

15.04 Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Teorema della divergenza in R^2.
16.04 Area di un dominio regolare a tratti. Teorema del rotore in R^2. Applicazioni dei teoremi della divergenza e del rotore.
17.04 Equazioni differenziali ordinarie. Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea.
19.04 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari: struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. 

22.04 Equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza.
23.04 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea. Oscillatore armonico smorzato.
24.04 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti.
26.04 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza. Oscillatore armonico forzato.

29.04 Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea, metodo di somiglianza. Metodo di riduzione dell'ordine di una EDO: caso banale, metodo della variazione delle costanti.
30.04 Cambiamenti di variabile e classi particolari di edo: equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome del secondo ordine e relativi problemi di Cauchy.
01.05 FESTIVITA` NAZIONALE
03.05 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA DEL CdA PER LUTTO

06.05 Superfici (elementari). Parametrizzazioni di una superficie. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie.
07.05 Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.  Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari.
08.05 Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie. Massa e baricentro di una lamina (omogenea e non omogenea).
10.05 Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.

13.05 (CC) Integrale triplo e integrabilità di funzioni definite su un parallelepipedo. Integrazione per fili, integrazione per strati. Misura in R^3 e insiemi misurabili di R^3.
14.05 (CC) Domini semplici rispetto a un piano. Domini semplici rispetto ad un asse. Formule di riduzione per fili e per strati.
15.05 SOSPENSIONE DELL'ATTIVITA' DIDATTICA DEL CdA  DALLE 12.00 ALLE 13.30.
17.05 (CC) Solidi di rotazione. Calcolo di volumi di solidi di rotazione. Secondo teorema di Pappo-Guldino. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate cilindriche.

20.05 (CC) Coordinate sferiche. Densità di massa e massa di un solido. Baricentro di un solido sia omogeneo che non omogeneo.
21.05 Richiami sulle superfici. Area di superfici di rotazione. Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.
22.05 Formule di integrazione per parti in R^3. Operatore di Laplace. La divergenza come densita` di flusso per unita` di area.
24.05 Orientazione del bordo di una superficie regolare. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per unita` di area.

27.05 Funzioni lipschitziane. Le funzioni di classe C^1 sono localmente lipschitziane.  Ancora sul teorema di esistenza locale e unicita` per il problema di Cauchy: unicita` delle soluzioni, struttura dell'integrale generale per equazioni lineari del primo ordine.
28.05 Esercizi di riepilogo
29.05 LEZIONE ANNULLATA PER RAGIONI DI BUON SENSO (ASSENZA DI OGNI ALTRA LEZIONE)
31.05 Esercizi di riepilogo.

Limite di funzioni a valori vettoriali.

Superfici composte. Integrale di funzione su superfici composte. Teoremi della divergenzxa e del rotore su superfici composte. 

Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte differenziabili.

Ascissa curvilinea (parametro d'arco).