LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1
Proff. Lorenzo Giacomelli e
Christian Casalvieri
a.a. 2014/2015
C.d.L. Ingegneria Aerospaziale - Canale A-K
I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni,
enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per le
parti
sottolineate, dimostrazioni.
Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi
Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.
29.09 Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi,
razionali: operazioni, ordinamento, densitā.
La "radice di 2"
non č un numero razionale. Numeri reali: operazioni,
ordinamento, densitā. Intervalli. Rappresentazione cartesiana di
R.
30.09 Valore assoluto. Distanza euclidea in
R.
Maggiorante (minorante), massimo (minimo), estremo superiore
(inferiore). Completezza dei numeri reali.
Radice n-esima.
01.10 Potenze con
esponente reale. Logaritmi. Funzione: dominio, codominio,
immagine, grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biettive.
Funzioni reali di una variabile reale. Successioni.
02.10 Relazioni tra
grafico, dominio e immagine. Funzione monotona. Relazione tra
iniettivita` e monotonia. Funzione segno. Funzione pari, funzione
dispari. Funzione parte intera.
06.10 Funzione parte decimale. Funzione periodica, periodo.
Funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche:
proprieta` e grafici qualitativi.
07.10 Funzioni composte.
Monotonia di funzioni composte.
Funzione (superiormente, inferiormente) limitata, massimo e minimo
globale (o assoluto).
08.10 Estremo superiore e inferiore di una funzione nel suo
dominio naturale o in suo sottoinsieme.
Intorni. Massimo (minimo) locale. Punti di massimo
(minimo) locale o relativo. Funzioni invertibili, funzione
inversa.
09.10 Prima relazione fra
invertibilitā e monotonia. Funzioni trigonometriche inverse. R*,
intorni di +infinito e -infinito. Punti di accumulazione.
13.10 Il
concetto di limite.
Definizione
di limite di funzioni reali di una variabile reale. Verifica del
limite con l'utilizzo della definizione.
Unicita` del limite.
Limite destro (sinistro).
14.10 Permanenza del segno.
Operazioni con i limiti. Limite di funzione monotona.
15.10 Limiti di funzioni potenza, esponenziali,
logaritmiche, trigonometriche.Aritmetica parziale di R* (I parte).
Limite di
funzioni razionali. Limite di funzione composta.
16.10 Teorema del confronto. Aritmetica parziale di R*
(II parte). Forme indeterminate.
Disuguaglianza
triangolare.
20.10 Funzioni infinitesime, funzioni infinite. Il
simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1).
Algebra di "o(1)".
Limiti notevoli di funzioni
trigonometriche e trigonometriche inverse.
21.10 Disuguaglianza di
Bernoulli.
Gerarchie di
infiniti. Confronto
tra funzioni infinite e tra funzioni infinitesime.
Confronto tra infiniti
per successioni.
22.10 Il numero e.
Altri limiti notevoli.
Relazione tra limite, limite
destro e limite sinistro.
23.10 Calcolo di
limiti. Asintoto orizzontale, verticale, obliquo.
27.10 (CC) Numeri complessi. Rappresentazione
cartesiana dei numeri complessi: parte reale, parte immaginaria,
operazioni, modulo, coniugio
.
28.10 Il simbolo "o(g)" (o piccolo di g).
Algebra di "o(g)".
Funzioni iperboliche.
29.10 Continuitā. Continuitā delle funzioni
elementari. Proprietā elementari. Punti di discontinuitā.
Teorema
degli zeri. Risoluzione di (dis)equazioni mediante il metodo
grafico.
Teorema dei
valori intermedi.
30.10 Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Sottosuccessioni. Teorema ponte e non esistenza di limiti. Ogni
successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.
Teorema di Weierstrass in un
intervallo.
03.11 Ordine di infinito e ordine di infinitesimo.
Rapporto incrementale. Migliore approssimazione lineare e retta
tangente. Derivabilitā e derivata.
04.11 Derivate di funzioni
elementari. Punto a tangente verticale, punto angoloso,
cuspide. Derivata destra, sinistra.
05.11 Proprietā elementari.
Derivata di funzione
composta. Derivata di funzione inversa.
06.11 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA
10.11 Teorema di
Fermat.
Estremi
locali e derivata prima.
Teorema di Rolle. Teorema di
Lagrange.
11.11 Relazioni
tra derivata prima e monotonia. Determinazione di
estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi
locali o assoluti. Studio del grafico di una funzione reale di una
variabile reale nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".
12.11 Derivate
di ordine superiore. Funzioni convesse e concave. Relazioni fra
derivata seconda e convessitā.
13.11 Punti di flesso.
Teorema di Cauchy.
Teorema di de l'Hospital.
17.11 (CC) Coordinate polari. Rappresentazione
trigonometrica dei numeri complessi.
Prodotto,
potenze n-esime. Rappresentazione
esponenziale.
18.11 Polinomi di Taylor e di McLaurin.
Teorema di Peano.
19.11 Applicazioni del Teorema di Peano:
natura dei punti critici interni mediante il segno della derivata
seconda, calcolo dei limiti.
20.11 Applicazioni del Teorema di Peano:
calcolo dei limiti.
24.11 (CC) Integrale (di Riemann) e
integrabilitā (secondo Riemann). Alcune classi di funzioni
integrabili. Proprietā elementari.
Teorema della media.
25.11(CC) Funzione integrale.
Teorema
fondamentale del calcolo integrale.
Funzione primitiva. Integrali
definiti di funzioni definite a tratti.
26.11(CC) Integrale indefinito.
Integrazione per parti.
27.11(CC)
Integrazione di funzioni razionali.
01.12(CC) Integrazione per sostituzione.
Alcune sostituzioni particolari.
02.12(CC) Integrali su
intervalli illimitati (impropri di I specie): calcolo diretto per
alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto
asintotico.
03.12(CC) Serie numeriche.
Calcolo diretto di alcune somme:
serie geometriche, serie di Mengoli, serie
telescopiche.
Condizione necessaria per la
convergenza di una serie. Linearitā.
Comportamento della
coda di una serie.
04.12(CC) Serie a termini
positivi:
carattere.
Criterio integrale per le
serie numeriche.
Carattere della serie armonica
generalizzata e della serie di Abel. Criterio del confronto.
08.12 FESTIVITA'
09.12(CC) Criterio del confronto asintotico. Studio
del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema
di Peano.
10.12(CC)
Criterio del rapporto,
criterio della radice.
Serie a segno alterno e
criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta.
11.11(CC) Integrali di funzioni non limitate
(impropri di II specie): calcolo diretto per alcuni campioni,
criterio del confronto, criterio del confronto asintotico
15.12 Elementi di topologia in R: punto interno, punto
esterno, punto di frontiera; interno, chiusura e frontiera di un
insieme; insieme aperto, insieme chiuso.
Ogni insieme chiuso e
limitato ammette massimo e minimo. Insieme compatto (per
successioni). Caratterizzazione dei compatti di R.
Teorema di
Weierstrass su insiemi compatti.
16.12 Formula del resto di Lagrange. Serie di Taylor.
Funzioni analitiche.
Approssimazione di funzioni mediante polinomi.
17.12 Funzioni Lipschitziane. Esercizi di riepilogo.
18.12 Esercizi di riepilogo.
CALENDARIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA DELL'ANNO PRECEDENTE.
GLI ARGOMENTI SVOLTI (QUI E/O NEL LABORATORIO) VENGONO VIA VIA
ESPUNTI
Insiemi aperti, chiusi, compatti. Teorema di Weierstrass su
insiemi compatti.
21.10 Funzioni iperboliche inverse.
22.10
04.11
07.11 Esercizi di riepilogo.
Resto di Lagrange
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