PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1

Proff. Lorenzo Giacomelli e Christian Casalvieri

A.A. 2014/2015

C.d.L. Ingegneria Aerospaziale - canale A-K

Per informazioni complete e aggiornate sul corso si veda http://www.sbai.uniroma1.it/~lorenzo.giacomelli

I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni, enunciati, esempi, contresempi e applicazioni. Le parti sottolineate sono state dimostrate.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill 2011. 

Elementi di base.
Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali. Operazioni, ordinamento, densitā. La "radice di 2" non e' un numero razionale. Numeri reali (R nel seguito): operazioni, ordinamento, densitā, rappresentazione cartesiana. Intervalli. Valore assoluto. Distanza euclidea in R. Segno, parte intera, parte positiva, parte negativa. Disuguaglianza triangolare. Maggiorante (minorante), massimo (minimo), estremo superiore (inferiore). Completezza di R. Radicali, potenze, esponenziali, logaritmi, grandezze trigonometriche. Funzione: dominio, codominio, immagine, grafico. Restrizioni. Proiezioni. Relazioni fra grafico e dominio e immagine. Funzioni iniettive, suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Successioni. Sommatorie. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli.

Numeri complessi.
Numeri complessi. Rappresentazione cartesiana. Parte reale. Parte immaginaria. Operazioni. Modulo. Coniugio. Coordinate polari. Rappresentazione trigonometrica. Potenze n-esime di numeri complessi. Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime complesse. Teorema fondamentale dell'algebra. Equazioni in campo complesso.

Funzioni di una variabile reale a valori reali. 
Funzione pari, funzione dispari. Funzione monotona. Funzione periodica, periodo. Funzioni massimo e minimo, funzioni segno, parte intera, valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo, parte positiva, parte negativa, trigonometriche e trigonometriche inverse; loro grafici qualitativi. Funzioni composte. Composizione di funzioni monotone. Monotonia di funzioni composte. Funzione somma, funzione prodotto e loro proprieta` di monotonia.  Grafici qualitativi di funzioni composte: traslazioni, riscalamenti, riflessioni, composizioni con il valore assoluto. Prima relazione fra invertibilitā e monotonia. Funzioni superiormente (inferiormente) limitate, funzioni limitate. Estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) assoluto, massimo (minimo) locale di una funzione. Caratterizzazione dell'estremo superiore (inferiore) di una funzione. Punti di massimo (minimo) assoluto (locale). Utilizzo del grafico qualitativo per la determinazione di estremo superiore (inferiore) e massimi (minimi) locali e assoluti. 

Limiti.
Elementi di topologia in R: distanza, intorni, R*, punti di accumulazione.  Teorema di Bolzano-Weierstrass. Punto interno, punto esterno, punto di frontiera; interno, chiusura e frontiera di un insieme; insieme aperto, insieme chiuso. Ogni insieme chiuso e limitato ammette massimo e minimo. Insieme compatto (per successioni). Caratterizzazione dei compatti di R . Il concetto di limite di funzioni reali di una variabile reale: definizione, unicita'. Limiti destro, sinistro, per eccesso, per difetto. Proprieta' elementari: permanenza del segno, confronto, operazioni. Aritmetica parziale di R*. Limite di funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, razionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Limite di funzione composta. Forme indeterminate. Funzioni infinitesime, funzioni infinite. Il simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1). Algebra di "o(1)". Limiti notevoli di funzioni trigonometriche e trigonomentriche inverse. Gerarchie di infiniti. Confronto tra funzioni infinite e tra funzioni infinitesime. Limiti di successioni: proprietā, sottosuccessioni, non esistenza di limiti, gerarchie di infiniti per successioni. Successioni ricorsive. Il numero e. Altri limiti notevoli. Funzioni iperboliche e iperboliche inverse; loro grafici qualitativi. Il simbolo di Landau "o piccolo". Algebra degli "o piccolo". Asintoto orizzontale, verticale, obliquo. Teorema "ponte" e non esistenza di limiti. 

Continuitā delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione di funzione continua. Continuitā delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e iperboliche). Punti di discontinuitā. Proprieta' elementari.  Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Sottosuccessioni. Teorema ponte e non esistenza di limiti. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Risoluzione di (dis)equazioni con metodo grafico. Teorema di Weierstrass. Funzioni Lipschitziane.
 
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Migliore approssimazione lineare di una funzione in un punto. Retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivata. Derivata destra (sinistra). Punto angoloso. Cuspide. Derivate di funzioni elementari. Proprietā elementari. Derivata di funzione composta. Calcolo delle derivate. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima e monotonia.  Teorema di Cauchy.  Teorema di de l'Hopital. Funzioni concave e convesse. Derivate di ordine superiore. Relazioni tra derivata seconda e convessitā. Studio del grafico di una funzione reale di una variabile reale. Risoluzione di equazioni e disequazioni mediante il metodo grafico. Determinazioni di (punti di) massimo e minimo locale o assoluto, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione. Polinomi di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano.

Teoria dell'integrazione per funzioni reali di una variabile reale.
Integrale (di Riemann) e integrabilitā (secondo Riemann). Alcune classi di funzioni integrabili. Proprietā elementari. Teorema della media. Funzione integrale.  Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrale indefinito. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali . Alcune sostituzioni particolari. Integrali definiti di funzioni definite a tratti. Integrali impropri: definizione, calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.

Serie numeriche.
Definizione di serie. Carattere (convergente, divergente, irregolare) di una serie. Carattere di serie geometriche, serie di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Linearitā. Convergenza della coda ed errore. Serie a termini positivi: carattere (convergente o divergente). Criterio integrale. Carattere della serie armonica generalizzata e della serie di Abel. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico.  Studio del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema di Peano. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz.