CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2014-2015

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

02.03 Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello. Coordinate polari. Simmetrie.
03.03 Distanza (euclidea), intorni (sferici), (R^N)^*, punti di accumulazione. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Caratterizzazione dei compatti. 
04.03 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite.
05.03 Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Continuita`. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.

09.03 Derivate parziali. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Gradiente. Funzioni differenziabili.
10.03 Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale.
11.03 Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Il Teorema di Peano al secondo ordine.
12.03 Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici.Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili attraverso la definizione

16.03 (CC) Equazioni differenziali ordinarie (EDO). Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti. EDO lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. 
17.03 EDO del primo ordine a variabili separabili. Problema di Cauchy.
18.03 Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Esempi di riepilogo. Cambiamento della variabile dipendente, riduzione dell'ordine (caso banale).
19.03 EDO lineari del primo ordine: metodo della variazione delle costanti, metodo ad-hoc (o di somiglianza) per EDO a coefficienti costanti.

23.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine: struttura dell'integrale generale. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea.
24.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza.
25.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Problema di Cauchy.
26.03 (CC) EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea. Cambiamenti di variabile. Classi particolari di EDO: equazioni di Bernoulli.

30.03 (CC) Classi particolari di EDO: equazioni di Eulero. Classi particolari di EDO: equazioni autonome del secondo ordine e relativi problemi di Cauchy.
31.03 (CC) Richiami: funzioni periodiche e loro proprietà. Cenni di successioni di funzioni. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie.
01.04 (CC) Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Fenomeno di Gibbs. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.

VACANZE PASQUALI

08.04 Curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Curva di classe C^1. Vettore velocita`. Vettore accelerazione. Velocita` scalare. Accelerazione scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Curva rettificabile e sua lunghezza. 
09.04 Orientazione di una curva. Curva di Jordan. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie).

13.04 Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale o di II specie (e lavoro di un campo vettoriale). Proprieta`. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso.
14.04   Relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie.  Insieme connesso. Forme differenziali esatte (e campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino.
15.04 Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale.
16.04 Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso). 

20.04 Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte. Insieme di livello e funzione implicita in R^2. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2.
21.04  Calcolo della derivata prima e delle derivate successive della funzione implicita. Controesempi al teorema di Dini. Punto regolare di un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.  
22.04 Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.  23.04 Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

27.04 (CC) Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti. Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli.
28.04 (CC) Integrali doppi su insiemi più generali. Esempi di funzioni non integrabili.  Insiemi misurabili del piano. Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili. Proprietà elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili.
29.04 (CC) Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile.
30.04 (CC) Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Coordinate polari.  Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Coordinate ellittiche. Altri cambi di coordinate. Esempi.

04.05 (CC) Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi. Alcune applicazioni fisiche degli integrali doppi: massa, baricentro e momento di inerzia di una lamina piana sia omogenea che non omogenea.
05.05 Integrale triplo e integrabilità di funzioni definite su un parallelepipedo. Formule di riduzione "per fili" e "per strati" su parallelepipedi. Domini semplici rispetto ad un asse e integrazione "per fili".
06.05 Domini semplici rispetto a un piano e integrazione "per strati".  Volume, densità di massa e massa di un solido. Baricentro di un solido sia omogeneo che non omogeneo. Solidi di rotazione. 
07.05 Calcolo di volumi di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. 

11.05 Divergenza di un campo vettoriale. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti. Applicazioni.
12.05 Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. Area di un dominio regolare a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Teorema della divergenza in R^2.
13.05  Teorema del rotore in R^2. Superfici (elementari).
14.05  Parametrizzazioni di una superficie. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.  Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari. Superfici di rotazione.

18.05 (CC) Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di funzione  su una superficie.
19.05 Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile. Orientazione del bordo di una superficie regolare. Massa e baricentro di una lamina (omogenea e non omogenea).
20.05 Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.  La divergenza come densita` di flusso uscente per unita` di volume.  Operatore di Laplace.  Formule di integrazione per parti in R^3. 
21.05 Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per unita` di area.

25.05 Superfici composte. Integrale di funzione su superfici composte. Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti (II parte). Esempi di riepilogo.
26.05 Esempi di riepilogo.
27.05 Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte differenziabili. Esempi di riepilogo.
28.05 Ascissa curvilinea (parametro d'arco). Esempi di riepilogo.

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