Analisi I - Programma

LEZIONI DEL LABORATORIO DI ANALISI MATEMATICA

Proff. Lorenzo Giacomelli

a.a. 2014/2015

C.d.L. Ingegneria Aerospaziale - Canale UNICO

I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni, enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.

30.09 Equazioni e disequazioni lineari. Equazioni e disequazioni di II grado. Equazioni e disequazioni razionali. Rappresentazione cartesiana di R^2. Introduzione al metodo grafico.
02.10 Valore assoluto: proprieta`, grafico qualitativo. Determinazione del grafico di |f(x)| a partire dal grafico di f(x). Equazioni e disequazioni con il valore assoluto (metodo grafico).

07.10 Determinazione del grafico di f(|x|) a partire dal grafico di f(x). Equazioni e disequazioni con il valore assoluto (metodo grafico). Grafici qualitativi di funzioni composte: traslazioni.
09.10 Grafici qualitativi di funzioni composte: riscalamenti, riflessioni. Equazioni e disequazioni con riscalamenti e riflessioni (metodo grafico).

14.10 Monotonia di funzioni composte. Funzione somma, funzione prodotto e loro proprieta` di monotonia. Equazioni e disequazioni con funzioni composte (metodo grafico).
16.10 Parte negativa, parte positiva, funzione massimo, funzione minimo, e loro grafico qualitativo. Utilizzo del grafico qualitativo per la determinazione di estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo e punti di massimo o minimo locale di una funzione.

21.10 Principio di induzione. Sommatorie. Somma dei primi n interi. Disuguaglianza di Bernoulli. Successioni ricorsive. Valori ammissibili del limite di una successione ricorsiva. Utilizzo di monotonia e principio di induzione. Algoritmo ``di Erone''.
23.10 La successione di Fibonacci. Sezione aurea. Equazioni e disequazioni irrazionali.

28.10 Sistemi di equazioni non lineari.
30.10 Divisione di polinomi. Equazioni e disequazioni logaritmiche.

04.11 Equazioni e disequazioni logaritmiche. Coefficienti binomiali. Elementi di calcolo combinatorio. Formula del binomio di Newton.
06.11 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA

11.11 Equazioni e disequazioni trigonomtriche.
13.11 Scomposizione in fratti semplici. Scomposizione di Hermite.

20.11 Esempi di esercizi di esame.

27.11

04.12

11.12

19.12

CALENDARIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA DELL'ANNO PRECEDENTE. GLI ARGOMENTI SVOLTI (QUI E/O NEL LABORATORIO) VENGONO VIA VIA ESPUNTI

Verifica di un limite con l'utilizzo della definizione. Unicita` del limite. Limite destro (sinistro). Permanenza del segno. Limite destro e sinistro. Non esistenza del limite.

14.10 Limite di funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Operazioni sui limiti. Teorema del confronto. Aritmetica parziale di R*.
15.10 Limite di funzioni razionali. Forme indeterminate. Limite di funzione composta.
16.10 Funzioni infinitesime, funzioni infinite. Il simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1). Algebra di "o(1)". Limiti notevoli di funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse. Disuguaglianza di Bernoulli.
17.10 Gerarchie di infiniti. Confronto tra funzioni infinite e tra funzioni infinitesime. Confronto tra infiniti per successioni. Il numero e. Altri limiti notevoli.

21.10 Funzioni iperboliche e iperboliche inverse. Asintoto orizzontale, verticale, obliquo.
22.10 Sottosuccessioni. Non esistenza di limiti. Il simbolo "o(g)" (o piccolo di g). Algebra di "o(g)".
23.10 Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Proprietà elementari. Punti di discontinuità.
24.10 Teorema degli zeri. Risoluzione di (dis)equazioni mediante il metodo grafico. Caratterizzazione dell'estremo superiore (inferiore) di una funzione. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Teorema di Weierstrass. Teorema ponte e non esistenza di limiti.

28.10 Rapporto incrementale. Migliore approssimazione lineare e retta tangente. Derivabilità e derivata. Derivate di funzioni elementari. Punto a tangente verticale, punto angoloso, cuspide.
29.10 Proprietà elementari. Derivata di funzione composta. Derivata di funzione inversa. Teorema di Fermat.
30.10 Estremi locali e derivata prima. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima e monotonia. Determinazione di estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi locali o assoluti. Studio del grafico di una funzione reale di una variabile reale nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".
31.10 (CC) Numeri complessi. Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi: parte reale, parte immaginaria, operazioni, modulo, coniugio.

04.11 Derivate di ordine superiore. Funzioni convesse e concave. Relazioni fra derivata seconda e convessità. Teorema di Cauchy. Teorema di de l'Hospital.
05.11 Derivata destra, sinistra. Polinomi di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano. Applicazioni del teorema di Peano al calcolo dei limiti.
06.11 Applicazioni del Teorema di Peano. Natura dei punti critici interni mediante il segno della derivata seconda.
07.11 Esercizi di riepilogo.

****************************************************************************************************************************************************************************

II PARTE (Prof. Christian Casalvieri)

11.11 Coordinate polari. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Prodotto, potenze n-esime.
12.11 Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime. Teorema fondamentale dell'algebra.
13.11 Integrale (di Riemann) e integrabilità (secondo Riemann). Alcune classi di funzioni integrabili. Proprietà elementari. Teorema della media.
14.11 Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrali definiti di funzioni definite a tratti. Integrale indefinito.

18.11 Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
19.11 Integrazione di funzioni razionali. Alcune sostituzioni particolari.
20.11 Integrali su intervalli illimitati (impropri di I specie): calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.
21.11 Serie numeriche. Calcolo diretto di alcune somme: serie geometriche, serie di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Linearità. Comportamento della coda di una serie. Serie a termini positivi: carattere.

25.11 Criterio integrale per le serie numeriche. Carattere della serie armonica generalizzata e della serie di Abel. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Studio del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema di Peano.
26.11 Criterio del rapporto, criterio della radice. Serie a segno alterno e criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta.
27.11 Integrali di funzioni non limitate (impropri di II specie): calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.
28.11 Equazioni differenziali ordinarie (EDO): definizione, classificazione (ordine, linearità, omogeneità, forma implicita o esplicita, coefficienti). EDO del primo ordine lineari. EDO del primo ordine a variabili separabili.

02.12 Problema di Cauchy, teorema di Cauchy, intervallo massimale di esistenza di una soluzione. EDO del secondo ordine lineari a coefficienti costanti. Struttura dell'integrale generale. Integrale generale dell'omogenea.
03.12 EDO del secondo ordine lineari a coefficienti costanti: soluzione particolare. Metodo di somiglianza.
04.12 EDO del secondo ordine lineari: metodo della variazione delle costanti. Riduzione dell'ordine.
05.12 EDO risolubili mediante cambiamento di variabile. EDO di Bernoulli. EDO autonome del secondo ordine.

09.12 Funzioni da R^N in R^M. Funzioni da R^2 in R. Insiemi di livello. Curve. Dominio naturale. Distanza in R^2, intorni (circolari). Prodotto scalare. Punti di accumulazione, punti interni, punti esterni, punti di frontiera, frontiera. Insiemi aperti, chiusi, limitati, illimitati, compatti.
10.12 Definizione di limite e di continuità, proprietà elementari, non esistenza di limiti. Derivate parziali. Gradiente.
11.12 Differenziabilità. Piano tangente. Proprietà elementari. Teorema del differenziale totale.
12.12 Derivate direzionali. Derivate direzionali di funzioni differenziabili. Punti di massimo e minimo locale per funzioni di due variabili. Punti stazionari. Teorema di Fermat per funzioni di due variabili. Punti di massimo assoluto e di minimo assoluto. Teorema di Weierstrass in R^2. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz.

16.12 Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Integrali doppi su rettangoli: definizione, proprietà, formule di riduzione.
17.12 Integrali doppi: il caso generale. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili.
18.12 Domini normali. Formule di riduzione. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali).
19.12 Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Determinante Jacobiano.