CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2015-2016

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

29.02 Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi d livello. Coordinate polari. Simmetrie.
01.03 Distanza (euclidea), intorni (sferici), punti di accumulazione. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Caratterizzazione dei compatti. Curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Insiemi connessi (per archi).
02.03  (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite.
03.03 Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Continuita`. Teorema di Weierstrass.

07.03 Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Gradiente. Funzioni differenziabili.
08.03 Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale.
09.03 Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Il Teorema di Peano al secondo ordine.
10.03 Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici.Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili attraverso la definizione.

14.03 Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto.
15.03 Curva di classe C^1. Vettore velocita`. Velocita` scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Ascissa curvilinea (parametro d'arco). Vettore accelerazione. Accelerazione scalare. EDO. Struttura e classificazione.
16.03 (CC)  EDO lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. EDO del primo ordine a variabili separabili.
17.03 (CC) Problema di Cauchy. Esistenza locale e unicita` della soluzione. Intervallo massimale di esistenza.

21.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine: struttura dell'integrale generale. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea.
22.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza.
23.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Problema di Cauchy: esistenza e unicità locale e globale per EDO lineari del secondo ordine.
24.03 VACANZE PASQUALI

28.03 VACANZE PASQUALI
29.03 VACANZE PASQUALI
30.03 (CC) Cenni alle EDO lineari a coefficienti costanti di ordine n. Cambiamenti di variabili nelle EDO. Abbassamento dell'ordine di una EDO. Casi particolari: y'=f(y/x), y'=f(ax+by) e relativi problemi di Cauchy. Equazioni di Bernoulli.
31.03 (CC) Classi particolari di EDO: equazioni del secondo ordine di Eulero, equazioni autonome del secondo ordine e relativi problemi di Cauchy.

04.04 (CC) Isocline. Curve integrali. Cenni allo studio qualitativo per EDO in forma normale del primo ordine. Esempi di studi qualitativi. Applicazione delle EDO: oscillatore armonico forzato. Fenomeno della risonanza. Battimenti.
05.04 Insieme di livello e funzione implicita in R^2. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Calcolo della derivata prima della funzione implicita.
  Controesempi al teorema di Dini. Punto regolare di un insieme di livello.
 06.04 Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.   Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2.
 Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto.
07.04 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.  Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti.

11.04 Calcolo delle derivate successive della funzione implicita. Il teorema di Dini in R^3. Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due vincoli.
12.04 Curva rettificabile e sua lunghezza. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione.
13.04 Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie).  Massa e baricentro di un filo curvilineo omogeneo e non omogeneo..
14.04 Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale o di II specie (e lavoro di un campo vettoriale). Proprieta`. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso.

18.04 Forme differenziali esatte (e campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale.
19.04   Relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).
20.04 I Curve omotope. nsieme semplicemente connesso. Le forme chiuse su insiemi semplicemente connessi sono esatte. Il campo di induzione magnetica.
21.04 Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili. Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo.  Formule di riduzione sui rettangoli. Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili. Alcune classi di funzioni integrabili.

25.04 FESTIVITA' NAZIONALE
26.04 Proprietà elementari e teorema della media. Domini normali (semplici) rispetto a un asse.
27.04 Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi. Massa, baricentro e momento di inerzia di una lamina piana sia omogenea che non omogenea.
28.04 Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano.

02.05 Coordinate polari. Coordinate ellittiche. Altri cambi di coordinate.
03.05  Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti. Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. Area di un dominio regolare a tratti.
04.05 Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R^2.
05.05 Flusso di un campo vettoriale piano. Teorema del rotore in R^2. Circuitazione di un campo vettoriale piano. Formula di integrazione per parti in R^2.

09.05 Integrale triplo e integrabilità di funzioni definite su un parallelepipedo. Formule di riduzione "per fili" e "per strati" su parallelepipedi. Domini semplici rispetto ad un asse e integrazione "per fili".
10.05 Domini semplici rispetto a un piano e integrazione "per strati".  Volume, densità di massa e massa di un solido. Baricentro di un solido sia omogeneo che non omogeneo. Solidi di rotazione.   
11.05 (CC) Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate sferiche.
12.05 (CC) Coordinate cilindriche. Calcolo di volumi di solidi di rotazione. Teorema di Guldino.

16.05 (CC) Parametrizzazioni di una superficie. Esempi vari. Superfici cartesiane. Linee coordinate e vettori tangenti ad una superficie. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.
17.05 (CC) Punti regolari. Versori normali ad una superficie in un suo punto regolare. Superfici regolari. Superfici regolari a tratti. Superfici di rotazione.
18.05 (CC) Elemento d'area. Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di una funzione su una superficie.
19.05 (CC) Superfici orientabili. Esempi vari. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.

23.05 Massa e baricentro di una lamina (omogenea e non omogenea). Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.  La divergenza come densita` di flusso uscente per unita` di volume.  Operatore di Laplace.  Formule di integrazione per parti in R^3. 
24.05 Orientazione del bordo di una superficie regolare. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per unita` di area.
25.05 Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie.
26.05 Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.

30.05 Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti (II parte).
31.05 Funzioni lipschitziane. Le funzioni di classe C^1 sono localmente lipschitziane.Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte differenziabili.