CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2017-2018

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.

27.02 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA (D.R., CAUSA MALTEMPO)
1- 28.02 Introduzione. Richiami di calcolo vettoriale. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico. Insiemi d livello. Distanza (euclidea).
* 2- 01.03 (CC) Intorni (sferici), punti di accumulazione. (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite. Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti.
3- 02.03 Continuita`. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali.

4- 06.03 Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Gradiente. Funzioni differenziabili. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Il teorema del differenziale totale.
5- 07.03 Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Il gradiente come direzione di massima crescita. Punti critici (stazionari).
Il Teorema di Fermat. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. 
6- 08.03 Il Teorema di Peano al secondo ordine.  Proprietà. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici. 
7- 09.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione).  Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto.

* 8- 13.03 (CC) Curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Vettore velocita`. Velocita` scalare. Curva di classe C^1. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Ascissa curvilinea (parametro d'arco). Vettore accelerazione. Lunghezza di una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo della lunghezza. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo.
* 9- 14.03 (CC) Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie).  Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). L'integrale curvilineo di I specie è invariante per curve equivalenti.   Massa e baricentro di un filo curvilineo omogeneo e non omogeneo.
10- 15.03 Regola della catena per funzioni composte con curve. Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuità e derivabilità.  Il baricentro come punto di minimo assoluto della distanza quadratica media. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2.  Controesempi al teorema di Dini. Calcolo della derivata prima della funzione implicita.
11- 16.03 Calcolo delle derivate successive della funzione implicita.   Punto regolare di un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.   Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto.

12- 20.03 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.  Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Natura dei punti critici vincolati attraverso il metodo diretto. Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto attraverso il metodo dei moltiplicatori.
13- 21.03 Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo.  Proprietà. Classi di funzioni integrabili. Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili.  Formule di riduzione sui rettangoli.
14- 22.03 Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili.   Proprietà, teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili.  Domini semplici o normali rispetto a un asse in R^2. Area di un dominio semplice/normale. Formule di riduzione sui domini normali. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi. Massa e baricentro di una lamina piana omogenea o non omogenea.
15- 23.03 Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Coordinate polari.

16- 27.03 Coordinate polari. Coordinate ellittiche. Altri cambi di coordinate. Massa e baricentro di una lamina piana non omogenea.
17- 28.03 Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione per fili e per strati. Solidi di rotazione. Volume dei solidi di rotazione. Volume, densità di massa, massa  e baricentro di un solido. Cambiamenti di variabile negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche.

VACANZE PASQUALI

18- 04.04 Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Campi vettoriali (e forme differenziali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale) o di II specie.  Relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Proprieta`.
19- 05.04 Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso. Forme differenziali esatte (e campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale.
20- 06.04 Divergenza di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Insiemi connessi (per archi). Forme differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).  Curve omotope. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse su insiemi semplicemente connessi sono esatte. Il campo di induzione magnetica.

21- 10.04 Derivata di integrali dipendenti da un parametro in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti. 
22- 11.04 Domini regolari a tratti. Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti.  Area di un dominio regolare a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Teorema della divergenza in R^2.
23- 12.04 Flusso di un campo vettoriale piano. La divergenza come densita' di flusso. Teorema del rotore in R^2. Circuitazione di un campo vettoriale piano. Il rotore come densita' di circuitazione.
24- 13.04 Formula di integrazione per parti in R^2. Esercizi di riepilogo (test di autovalutazione).

25- 17.04 Introduzione alle superfici: parametrizzazioni di una superficie, esempi vari, superfici cartesiane. Linee coordinate e vettori tangenti ad una superficie. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto. 
26- 18.04 Punti regolari. Versori normali ad una superficie in un suo punto regolare. Superfici regolari. Superfici regolari a tratti. Superfici di rotazione.  
27- 19.04 Elemento d'area. Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di una funzione su una superficie.
28- 20.04 Superfici orientabili. Esempi vari. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile. Bordo e orientazione del bordo di una superficie regolare.

29- 24.04 Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.  La divergenza come densita` di flusso uscente per unita` di volume.  Operatore di Laplace.  Formule di integrazione per parti in R^3. 
* 30- 26.04  (CC) Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area. Teorema del rotore in R^3 come generalizzazione del teorema del rotore in R^2. Campi irrotazionali e campi conservativi in domini semplicemente connessi di R^3.
* 31- 27.04 (CC)  Verifica del teorema del rotore in R^3 in alcuni esempi. Equazioni differenziali ordinarie (EDO): ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti. EDO lineari del primo ordine. Integrale generale di una EDO lineare del primo ordine.

* 32- 02.05 (CC) Derivata prima come operatore lineare tra spazi di funzioni. Nucleo dell'operatore derivata prima e sua non iniettività. Struttura dell'integrale generale di una EDO di primo ordine lineare: struttura dell'integrale generale dell'omogena associata, soluzione particolare. EDO a variabili separabili.
* 33- 03.05 (CC) Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità locale per problemi di Cauchy in forma normale. Intervallo massimale di esistenza della soluzione.
* 34- 04.05 (CC) Cambiamenti di variabili nelle EDO. EDO del primo ordine riconducibili ad EDO lineari o a variabili separabili: y'=f(y/x), y'=f(ax+by), equazioni di Bernoulli e relativi problemi di Cauchy. EDO lineari del secondo ordine: definizione.

* 35 - 08.05 (CC) EDO lineari del secondo ordine: struttura dell'integrale generale. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea.
* 36 - 09.05 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza.
* 37 - 10.05 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Wronskiano. Problema di Cauchy: esistenza e unicità locale e globale per EDO lineari del secondo ordine.
* 38 - 11.05 (CC) Cenni alle EDO lineari a coefficienti costanti di ordine n. Abbassamento dell'ordine di una EDO. Applicazione delle EDO: oscillatore armonico forzato. Forzante periodica e fenomeno della risonanza.

* 39- 15.05 (CC) Equazioni di Eulero, equazioni autonome del II ordine e relativi problemi di Cauchy.
40- 16.05 Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità e differenziale. Regola della catena.  Il teorema di Dini in R^N.
41- 17.05 Il teorema di Dini in R^3. Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due vincoli. 


* 43- 22.05
* 44- 23.05
* 45- 24.05
46- 25.05

47- 29.05

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LEZIONI DELL'ANNO PRECEDENTE (VENGONO VIA VIA ESPUNTE)

Accelerazione scalare.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Insiemi e funzioni convesse.



26.05 Cenni alle equazioni alle derivate parziali.

30.05 (CC) Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie.
31.05 (CC) Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.
01.06 Esercizi di riepilogo.