Richiami sullo spazio vettoriale  R^N. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello. Cenni di topologia in R^N: distanza (euclidea), intorni (sferici), insiemi limitati, punti di accumulazione, punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Caratterizzazione dei compatti di R^N. Insiemi connessi (per archi). (R^N)*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Proprietà elementari del limite. Non esistenza del limite. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Continuità.  Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Gradiente. Proprietà elementari delle derivate parziali. Funzioni derivabili. Le funzioni derivabili non sono tutte continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale. Punti critici (stazionari). Il teorema di Fermat. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili attraverso la definizione. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessità di funzioni due volte differenziabili. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Natura dei punti critici interni. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti: metodo diretto.  Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuità e derivabilità. Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità e differenziale. Regola della catena.

IL TEOREMA DELLE FUNZIONI IMPLICITE E ALCUNE SUE APPLICAZIONI

Insieme di livello. Funzione implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Controesempi al teorema di Dini.  Calcolo della derivata prima e delle derivate successive della funzione implicita. Punto regolare di un insieme di livello. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Il gradiente è ortogonale all'insieme di livello nei punti regolari. Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2.  Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Determinazione degli estremi assoluti vincolati in R^2: metodo diretto e metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Natura dei punti critici vincolati: metodo diretto. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Il teorema di Dini in R^N. Il teorema di Dini in R^3: estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due vincoli.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili e non misurabili del piano. Integrali doppi su insiemi misurabili. Proprietà elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili. Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Cambiamenti di variabile negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Passaggio in coordinate polari, passaggio in coordinate ellittiche, e altri cambi di coordinate. Area di una figura piana. Densità, massa e baricentro di una lamina piana omogenea o non omogenea. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.
Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per strati, integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse. Domini semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione “per fili” e “per strati”. Volume di un solido. Massa, densità e baricentro di un solido. Volume di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Passaggio in coordinate cilindriche e sferiche.

CURVE E INTEGRALI DI FUNZIONI SU CURVE (INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE)

Curva. Curva semplice. Curva chiusa.  Curva cartesiana.  Orientazione di una curva. Curva piana. Curva di Jordan. Orientazione di una curva di Jordan. Curva di classe C^1 (a tratti). Vettore velocità, velocità scalare. Ascissa curvilinea (o parametro d'arco). Vettore accelerazione, accelerazione scalare. Curva regolare (a tratti) e vettore tangente a una curva. Versore tangente. Retta tangente. Regola della catena per funzioni composte con curve. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). Curva rettificabile e sua lunghezza.  Lunghezza di una curva cartesiana.  Integrale curvilineo di una funzione. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti. L'integrale curvilineo di I specie è invariante per curve equivalenti.  Densità lineare, massa e baricentro di un filo curvilineo omogeneo e non omogeneo. Il baricentro come punto di minimo assoluto della distanza quadratica media.

FORME DIFFERENZIALI E INTEGRALI CURVILINEI DI FORME DIFFERENZIALI (INTEGRALI CURVILINEI DI SECONDA SPECIE)

Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale). Proprietà. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso. Relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie.  Forme differenziali esatte (e campi conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa è falso). Curve omotope in un insieme. Insiemi connessi. Insieme semplicemente connessi. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte. Il campo di induzione magnetica.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari e regolari a tratti. Superfici di rotazione. Elemento d’area. Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di funzione su una superficie. Massa e baricentro di una lamina (omogenea e non omogenea). Superfici orientabili. Orientazione del bordo. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie. Circuitazione di un campo vettoriale lungo il bordo di una superficie. Superfici composte.

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

  Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 con frontiera regolare a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Area di un dominio regolare a tratti. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R^2. Area di un dominio regolare a tratti. Formule di integrazione per parti in R^2. La divergenza come densità di flusso per unità di area.
Teorema del rotore in R^2. Il rotore (scalar e3) come densità di circuitazione (intorno all'asse e3) per unità di area.  Applicazioni dei teoremi della divergenza e del rotore. Teorema della divergenza in R^3. Formule di integrazione per parti in R^3. Operatore di Laplace. La divergenza come densità di flusso per unità di volume. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Equazioni differenziali ordinarie (EDO): ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Funzioni lipschitziane. Le funzioni di classe C^1 sono localmente lipschitziane. Problema di Cauchy: esistenza locale e unicità della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Isocline. Curve integrali. Cenni allo studio qualitativo per EDO in forma normale del primo ordine. Esempi di studi qualitativi. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza. Problema di Cauchy: esistenza e unicità locale e globale per EDO lineari del secondo ordine. Oscillatore armonico forzato, risonanza. EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo di somiglianza. Riduzione dell'ordine di una EDO: caso banale, metodo della variazione delle costanti. Cambiamenti di variabile. Casi particolari: y'=f(y/x), y'=f(ax+by) e relativi problemi di Cauchy. Classi particolari di EDO: equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome del secondo ordine e relativi problemi di Cauchy.

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.