CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2018-2019

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.


2- 26.02 Introduzione. Richiami di calcolo vettoriale. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico. Insiemi di livello. Distanza (euclidea).
4- 27.02  Simmetrie (rispetto a un asse, rispetto a una retta, rispetto a un punto, radiale). Intorni sferici, punti di accumulazione. (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite.
6- 28.02  Proprietà elementari del limite. Non esistenza del limite. Continuità. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass.
8- 01.03 Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Gradiente. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Il teorema del differenziale totale.

10- 05.03 Il gradiente come direzione di massima crescita. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. 
12- 06.03 Il Teorema di Peano al secondo ordine.  Proprietà. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici. 
14- 07.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione).  Estremo superiore e inferiore e massimi e minimi su un insieme illimitato. Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto.
16- 08.03 Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto. Coordinate polari. Curva. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Curva polare. Vettore velocita`. Velocita` scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Vettore accelerazione.

18- 12.03 Regola della catena per funzioni composte con curve.  Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2.  Calcolo della derivata prima della funzione implicita.
20- 13.03 Calcolo delle derivate successive della funzione implicita. Riformulazione del Teorema di Dini. Controesempi al teorema di Dini. Applicazioni del teorema.
22- 14.03 Punto regolare di un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.  Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare.
24- 15.03 Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.  Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto attraverso il metodo dei moltiplicatori.

26- 19.03 Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili. Domini semplici o normali rispetto a un asse in R^2. Area di un dominio semplice/normale.
28- 20.03 Utilizzo delle simmetrie. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali).  Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili.   Proprietà, teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili.  Formule di riduzione sui domini normali. Formule di riduzione sui domini normali. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.
30- 21.03 Baricentro di un insieme nel piano. Massa e centro di massa di una lamina non omogenea. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano.
32- 22.03 Coordinate polari. Coordinate ellittiche. Altri cambi di coordinate.

34- 26.03 (CC) Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione per fili e per strati.
36- 27.03 (CC) Cambiamenti di variabile negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche.
38- 28.03 (CC) Solidi di rotazione. Volume dei solidi di rotazione. Calcolo degli integrali su solidi di rotazione.
40- 29.03 Volume e baricentro di un insieme nello spazio. Densità, massa e centro di massa di un solido non omogeneo. Esempi di riepilogo sugli integrali tripli.  Lunghezza di una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo della lunghezza.

42- 02.04 Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie).  Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). L'integrale curvilineo di I specie è invariante per curve equivalenti.   Densità lineare, massa e centro di massa di un filo curvilineo. EDO: ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti.
44- 03.04 EDO lineari del I ordine: struttura dell'integrale generale, problema di Cauchy, metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza per EDO a coefficienti costanti.
46- 04.04 EDO del I ordine a variabili separabili. EDO del I ordine non lineari: Teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy, controesempi, intervallo massimale di esistenza, cambiamenti di variabile, metodo di Eulero esplicito per la simulazione numerica delle soluzioni.
48- 05.04 EDO lineari del II ordine: struttura dell'integrale generale, matrice Wronskiana. EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea associata, metodo di somiglianza, metodo della variazione delle costanti.

50- 09.04  EDO lineari di ordine n: struttura dell'integrale generale, matrice Wronskiana. EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea associata. 
52- 10.04 EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti: metodo di somiglianza, metodo della variazione delle costanti. Riduzione dell'ordine (caso banale). Sistemi di EDO. Teorema di esistenza e unicità di Cauchy per sistemi. 
54- 11.04 Riduzione dell'ordine di una EDO: caso banale, metodo della variazione delle costanti (di D'Alambert). Cambiamenti di variabile. Classi particolari di EDO: equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero.
56- 12.04 Equazioni autonome del secondo ordine. Piano delle fasi. Soluzioni stazionarie stabili, asintoticamente stabili, instabili. Stabilità di soluzioni stazionarie di EDO del I ordine autonome.
*57- 12.04 120403

59- 16.04 EDO con condizioni al contorno. Campi vettoriali: proprietà di base, rappresentazione grafica. Forme differenziali.  Integrale di un campo vettoriale lungo una curva (o integrale curvilineo di II specie). Proprietà. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso.
61- 17.04 Insiemi connessi (per archi). Forme differenziali esatte (e campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale. 

63- 30.04 Relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie.  Divergenza di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3.  Forme differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse, ma il viceversa e` falso: il campo di induzione magnetica.
65- 02.05 Curve omotope. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse su insiemi semplicemente connessi sono esatte.  Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuità e derivabilità. Derivata di integrali dipendenti da un parametro in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro.
67- 03.05 Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti.  Domini regolari a tratti. Orientazione positiva della frontiera di domini regolari a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti.  Area di un dominio regolare a tratti.
*68- 03.05 Esempi di riepilogo.

70- 07.05 Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti.  Teorema della divergenza in R^2. Formula di integrazione per parti in R^2.  Flusso di un campo vettoriale piano. La divergenza come densita' di flusso uscente per unità di area.
72- 08.05 (CC) Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti regolari. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare.
74- 09.05 (CC) Superfici regolari e regolari a tratti. Elemento d’area. Area di una superficie.
76- 10.05 (CC) Superfici di rotazione. Area di superfici di rotazione. Integrale di funzione su una superficie.

78- 14.05 (CC) Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile. Punti interni e bordo di una superficie.
80- 15.05 (CC) Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3. La divergenza come densità di flusso uscente per unità di volume.
82- 16.05 (CC) Orientazione del bordo di una superficie orientabile. Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa. Teorema del rotore in R^3.
84- 17.05 Operatore di Laplace.  Formule di integrazione per parti in R^3.  Equazione di continuità.   Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.

86- 21.05 Teorema del rotore in R^2: dimostrazione diretta.  Il teorema di Dini in R^3. Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con un vincolo. 
88- 22.05 Polinomi trigonometrici. Polinomio di minima distanza quadratica media da una funzione continua.  Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier.
90- 23.05 Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Serie di Fourier di funzioni 2L-periodiche. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier. Applicazione: esistenza della soluzione del problema della corda vibrante.

*92- 28.05 Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità e differenziale. Regola della catena.   
**94- 28.05 Esempi di riepilogo.
*98- 29.05 Ascissa curvilinea (parametro d'arco). Esempi di riepilogo.
*102- 30.05 Esempi di riepilogo.
*106- 31.05 Esempi di riepilogo.

* lezioni a canali riuniti
** solo canale A-K