PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA
Prof. Lorenzo Giacomelli
a.a. 2007/2008
C.d.L. Ingegneria Gestionale (A-L)
Elementi di base.
Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali.
Operazioni,
ordinamento, densita'. Non esistenza della radice di 2.
Numeri
reali. Intervalli. Valore assoluto. Maggiorante (minorante), massimo
(minimo),
estremo superiore (inferiore).
Completezza di R. Radicali, potenze, esponenziali, logaritmi. Equazioni
e
disequazioni
irrazionali, esponenziali, logaritmiche. Funzione: dominio, codominio,
immagine, grafico. Funzione identita', restrizione. Successioni.
Funzioni composte. Funzioni
iniettive,
suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa.
Principio di induzione
Funzioni reali di una variabile reale.
Funzioni monotone. Gradino, segno, parte intera,
mantissa. Funzioni potenza, esponenziale, logaritmo, trigonometriche,
trigonometriche
inverse e loro grafici qualitativi. Funzioni composte: dominio e
grafico qualitativo. Funzioni
limitate.
Estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) assoluto, massimo
(minimo)
locale.
Limiti.
Topologia in R: distanza, intorni, R*, punti
esterni,
interni, di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di
accumulazione. Il concetto di limite di funzioni reali di una variabile
reale. Limite
destro, sinistro. Proprieta' elementari: permanenza del segno,
confronto,
operazioni. Aritmetizzazione parziale di R*. Limite di funzione
monotona.
Limite di funzione composta. Forme indeterminate. Gerarchie di infiniti.
Alcuni
limiti notevoli. Infinitesimi,
infiniti e confronti.
Simboli di Landau e algebra degli o-piccoli. Il numero e. Altri
limiti notevoli. Asintoti.
Successioni e serie numeriche.
.
Limiti di
successioni. Proprieta'. Teorema "ponte". Sottosuccessioni.
Criterio di Cauchy. Sucessioni ricorsive.
Definizione di serie. Proprieta' elementari. Condizione necessaria.
Serie a
termini positivi: criteri
del confronto, della radice, del rapporto. Convergenza assoluta.
Serie a segno alterno e criterio
di Leibnitz.
Numeri complessi.
Definizione, operazioni, rappresentazione cartesiana, trigonometrica,
esponenziale, modulo, argomento, coniugio, radici ennesime, equazioni
in campo complesso.
Continuità delle funzioni reali di una variabile
reale.
Continuità. Funzioni elementari (potenze, esponenziali,
logaritmi,
funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche). Punti di
discontinuita'.
Proprieta' elementari.
Teorema degli zeri.
Continuita' della funzione inversa.
Relazioni tra monotonia e invertibilita'. Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale per
funzioni reali di una variabile reale.
Retta tangente, derivata. Derivata destra, sinistra, punto angoloso,
cuspide. Derivate di
funzioni
elementari. Proprietà
elementari. Derivata
di funzione composta. Calcolo delle
derivate. Estremi
locali. Teorema di Fermat.
Teorema
di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Teorema di de l'Hopital.
Funzioni
concave e convesse.
Derivate di ordine superiore. Studio del grafico di una funzione reale
di una variabile reale. Polinomi di
Taylor e di
McLaurin. Teorema di Peano.
Formula del resto di Lagrange.
Teoria dell'integrazione per funzioni
reali di una variabile reale.
Definizione dell'integrale di Riemann e sue proprietà
elementari.Funzione integrale. Funzione primitiva. Teorema fondamentale del calcolo
integrale. Integrale
indefinito. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrazione di funzioni razionali . Alcune sostituzioni particolari
Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali ordinarie. Classificazioni: ordine,
omogeneita', linearita', coefficienti. Equazioni lineari del primo
ordine: struttura delle soluzioni
dell'equazione omogenea,
struttura delle soluzioni dell'equazione completa, metodo della
variazione
delle costanti. Problema di Cauchy, intervallo massimale di esistenza
delle soluzioni. Equazioni a
variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo della
variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di
Cauchy.
Curve nel piano e nello spazio.
Definizione di curva. Curve semplici, chiuse, cartesiane.
Versore tangente, versore normale, retta tangente ad una curva.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili.
Topologia
in R^N. Insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera, di accumulazione.
Coordinate polari. Limiti e
continuità.
Proprieta' elementari. Teorema di Weierstrass. Punti di discontinuita'.
Derivate direzionali, derivate parziali,
gradiente;
differenziabilità e piano tangente. Proprietà delle
funzioni differenziabili e
teorema
del differenziale totale. Derivate di ordine superiore e teorema di
Schwarz.
Matrice Hessiana. Formula di
Taylor al secondo ordine. Studio dei
massimi e minimi liberi. Massimo e minimo assoluto di una funzione su
un dominio chiuso e limitato.Insiemi di livello e vettore normale,
cenno al metodo dei moltiplicatori di Laqgrange.
Teoria dell'integrazione per funzioni reali di piu' variabili
reali.
Domini semplici e domini ammissibili (scomponibili in domini
semplici). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Matrice
Jacobiana, cambiamenti di variabile negli integrali doppi.
I punti del programma si intendono comprensivi, ove rilevante, di
definizioni,
enunciati, esempi, contresempi, applicazioni.
Le parti sottolineate sono state dimostrate.
Testi consigliati: Bertsch - Dal Passo - Giacomelli. Analisi
Matematica. McGraw-Hill 2007.