LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA
Proff. Lorenzo Giacomelli e Christian
Casalvieri
a.a. 2010/2011
C.d.L. Ingegneria Gestionale - Canale A-L
In ciascuna settimana, la prima e la quarta lezione sono di 3 ore
accademiche, la seconda e la terza di 2 ore accademiche.
I punti del programma si intendono comprensivi di
definizioni, enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per
le
parti
sottolineate, dimostrazioni.
Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi
Matematica. McGraw-Hill 2007.
18.10 Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi,
razionali: operazioni, ordinamento, densita'.
La
"radice di 2" non e' un numero razionale. Numeri reali:
operazioni,
ordinamento, densita'. Maggiorante (minorante), massimo (minimo),
estremo superiore (inferiore). Completezza dei numeri reali.
19.10 Radicali,
potenze, esponenziali, logaritmi. Valore
assoluto.
Disuguaglianza
triangolare.
20.10 Funzione: dominio,
codominio, immagine, grafico. Funzioni reali di una
variabile reale. Relazioni tra grafico, dominio e immagine.
Funzione
valore assoluto. Funzione pari, funzione dispari. Funzione
monotona.
Funzioni potenza e loro grafici qualitativi.
21.10 Funzioni potenza,
esponenziali, logaritmiche e loro grafici qualitativi. Funzioni
iniettive,
suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Funzioni
composte.
Grafico
qualitativo del valore assoluto di una funzione.
25.10 Massimo e
minimo
(globale o assoluto), estremo superiore e inferiore di una
funzione
(nel dominio naturale o in suo sottoinsieme); utilizzo
del grafico
qualitativo per la loro determinazione. Grandezze trigonometriche.
Funzione
periodica, periodo. Funzioni trigonometriche e loro grafici
qualitativi.
26.10 Funzioni
trigonometriche inverse e loro grafici qualitativi. Grafici
qualitativi
di funzioni composte: traslazioni, riscalamenti, riflessioni.
27.10 Funzioni
parte intera, parte decimale, parte positiva, parte negativa e
loro
grafici qualitativi. Successioni.
Distanza
euclidea in R. Intorni.
Massimo (minimo)
locale. Punti di massimo (minimo) locale o relativo.
R*, intorni di +infinito e
-infinito. Punti di accumulazione.
28.10 Il concetto di
limite.
Definizione di
limite di funzioni
reali di una variabile reale.
Unicita'
del
limite.
Limite destro (sinistro). Proprieta'
elementari:
permanenza del segno,
confronto, limiti di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche,
trigonometriche.
01.11
02.11 Operazioni.
Aritmetica
parziale
di
R*.
03.11 Limite di funzione
monotona. Limite di funzione composta. Principio di
induzione.
Disuguaglianza
di
Bernoulli.
Gerarchie
di
infiniti. Confronto
tra
funzioni infinite.
04.11 Il simbolo di Landau
"o(1)" (o piccolo di 1).
Algebra
di
"o(1)".
Limiti
notevoli
di
funzioni
trigonometriche e trigonomentriche inverse. Confronto tra
funzioni infinitesime. Asintoto orizzontale,
verticale,
obliquo.
08.11 Limiti di successioni. Il
numero e.
Altri limiti notevoli.
Funzioni iperboliche e iperboliche inverse.
09.11 Ordine di
infinitesimo e
di infinito. Il simbolo
"o(g)" (o piccolo di g).
Algebra degli
"o(g)".
10.11 (CC) Esercizi di
ricapitolazione sui limiti.
11.11 Teorema ponte e non
esistenza di limiti.
Teorema
di
Bolzano-Weierstrass. Continuita'.
Continuita' delle funzioni elementari.
Proprieta' elementari. Punti
di discontinuita'.
Teorema degli zeri.
15.11
Risoluzione di
(dis)equazioni mediante il metodo grafico. Teorema
dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
Rapporto incrementale.
Migliore
approssimazione
lineare e retta tangente. Derivabilita' e derivata. Derivata
destra,
sinistra, punto a tangente verticale, punto angoloso,
cuspide.
Derivate
di funzioni elementari.
Proprieta' elementari.
16.11 Derivata
di funzione composta. Derivata di funzione inversa.
Teorema di
Fermat. Estremi locali e derivata prima.
17.11 Teorema di
Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima
e
monotonia.
Determinazione di
estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi
locali o assoluti. Studio del grafico di una funzione reale di una
variabile reale nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".
18.11 Teorema di
Cauchy. Teorema
di de
l'Hopital. Derivate di ordine
superiore. Funzioni convesse e
concave. Relazioni fra derivata
seconda e convessita'.
22.11 Sommatorie. Polinomi di Taylor e di
McLaurin.
Teorema di
Peano.
Applicazioni del teorema
di Peano: natura dei punti critici, calcolo di limiti, ordini di
infinito e infinitesimo
23.11 Applicazioni del Teorema di Peano. Formula del
resto di
Lagrange.
24.11 Esercizi su calcolo
dei
limiti e studi di funzione
25.11 .Successioni:
richiami.
Sottosuccessioni.
Ogni
successione limitata ha una
sottosuccessione convergente. Successioni
ricorsive.
Successione
di
Fibonacci. Sezione aurea.
Metodo di Newton. Stima dell'errore di
approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor mediante la
formula
del resto secondo Lagrange.
29.11 Numeri complessi.
Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi: parte
reale, parte immaginaria, operazioni, modulo, coniugio
.
Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi.
30.11 (CC) Prodotto, potenze n-esime.
Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime. Teorema
fondamentale dell'algebra.
01.12 Progressione
geometrica. Serie numeriche. Calcolo diretto di alcune
somme:
serie
geometriche, serie di
Mengoli, serie telescopiche.
Condizione necessaria.
Linearita'. Coda. Serie armonica. Serie a termini positivi:
carattere.
02.12 Criterio
del confronto, criterio del confronto asintotico. Serie armonica
generalizzata.
Criterio
del
rapporto, criterio della radice. Studio del carattere
di serie numeriche mediante applicazioni del teorema
di Peano.
06.12 (CC) Convergenza
assoluta. Serie a
segno alterno e criterio di
Leibnitz. Esercizi di ricapitolazione sulle serie.
07.12 (CC) Integrale (di Riemann) e integrabilita'
(secondo
Riemann).
Alcune classi di funzioni integrabili. Proprieta' elementari.
Teorema della media.
08.12
09.12 (CC) Funzione integrale.
Teorema
fondamentale del
calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrali definiti
di
funzioni definite a tratti. Integrale indefinito.
13.12 (CC) Integrazione
per
parti.
Integrazione
per
sostituzione.
14.12 (CC) Integrazione
di
funzioni
razionali.
Alcune
sostituzioni
particolari.
15.12 (CC) Integrali
impropri:
calcolo diretto per
alcuni
campioni,
criterio
del
confronto,
criterio
del
confronto
asintotico.
10.01 Funzioni da R^N
in R^M. Curve. Insiemi di livello. Dominio
naturale. Distanza in R^2, intorni (sferici). Punti di massimo e
minimo
locale per funzioni di due
variabili. Punti di accumulazione,
punti interni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi,
frontiera. Funzioni da R^2 in R Definizione di limite e di
continuita', proprieta' elementari, non
esistenza di limiti, teorema di Weierstrass, derivate parziali.
Gradiente.
11.01 (CC) Integrali
impropri:
funzioni
assolutamente integrabili in senso improprio, criterio di assoluta
integrabilita'. Criterio integrale per le serie numeriche e
giustificazione del carattere delle serie armoniche generalizzate.
Serie di Abel
.
12.01 Prodotto scalare. Derivate direzionali. Piano
tangente.
Differenziabilita'. Proprieta'
elementari. Teorema del differenziale. Derivate direzionali di
funzioni
differenziabili. Punti stazionari. Teorema di Fermat e
conseguenze.
13.01 Derivate di ordine
superiore. Teorema di Schwarz. Matrice
Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Natura dei punti
stazionari interni
16.01 Integrali doppi su rettangoli: definizione,
proprieta',
formule di riduzione. Integrali doppi: il caso generale. Insiemi
misurabili secondo Peano-Jordan. Integrabilita' di funzioni
continue su
insiemi misurabili. Domini normali
.
Formule
di
riduzione.
17.01 Domini normali
. Formule
di
riduzione.
Matrice
jacobiana.
Cambiamento
di
variabili
negli
integrali
doppi
.
18.01 Matrice
jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi
. Domini ammissibili (ovvero
scomponibili in domini normali).
19.01 Esercizi di
riepilogo.
23-26.01 (CC) Equazioni differenziali
ordinarie: definizione,
classificazione (ordine, linearita', omogeneita', forma implicita
o
esplicita, coefficienti). Equazioni differenziali ordinarie del
primo
ordine
lineari. Metodo della variazione della costante, metodo di
somiglianza. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili
separabili. Problema di Cauchy, teorema di Cauchy, intervallo
massimale
di esistenza di una soluzione. Riduzione dell'ordine di una ODE.
Equazioni differenziali ordinarie del secondo
ordine
lineari a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea,
metodo di somiglianza,
metodo della variazione delle
costanti.