Le parti sottolineate si riferiscono ad enunciati di cui e' anche richiesta la dimostrazione
 

0. Convergenza uniforme

Norma del sup (C^0) e distanza indotta. Definizione di convergenza uniforme. Limite uniforme di funzioni continue. Passaggio al limite sotto integrale. Convergenza uniforme delle derivate.  Convergenza localmente uniforme.

Convergenza uniforme e totale per serie di funzioni. Teorema di derivazione per serie.

1. Serie di potenze

Serie di Taylor: formula del resto, funzioni analitiche (ovvero sviluppabili in serie di Taylor), condizioni sufficienti per l'analiticita', esempi e contresempi.

Serie di potenze a coefficienti reali e complessi: convergenza puntuale e assoluta, teorema del raggio di convergenza, individuazione del raggio di convergenza. Casi di non convergenza in campo reale, e loro motivazione in campo complesso.

Criterio di convergenza uniforme per serie di potenze. Applicazioni del teorema di passaggio al limite sotto integrale e di derivazione per serie. Principio di identita'.

2. Calcolo differenziale in piu' variabili

Topologia in R^N: punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti, chiusi; distanza in R^N.

Funzioni di piu' variabili: dominio, limiti, continuita', derivabilita', derivate direzionali, differenziabilita', continuita' delle funzioni differenziabili, gradiente, teorema del differenziale totale, derivate successive. Altri operatori differenziali: divergenza, rotore, hessiano, laplaciano.

Cenni ad equazioni alle derivate parziali: equazione del calore, equazione di Laplace, dati iniziali e condizioni al contorno; derivazione dell'equazione del calore, nozioni di equazioni di bilancio ed equazioni costitutive.

Formula di Taylor in piu' variabili.  Punti critici (o stazionari). Estremi locali interni: condizione necessaria e condizione sufficiente sulla matrice hessiana. Punti di sella. Determinazione di massimi e minimi assoluti su un dominio limitato.

Teorema delle funzioni implicite (di Dini) e conseguenze. Massimi e minimi vincolati, invertibilita' locale, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Curve in R^2

Definizione di curva e di sostegno. Lunghezza di una curva: motivazione della definizione (nel caso di curve cartesiane),  indipendenza dalla parametrizzazione. Parametro d'arco. Versore tangente. Versore normale. Curvatura. Formule di Frenet. Cerchio osculatore: costruzione. Formula per la curvatura.

4. Equazioni differenziali ordinarie (EDO)

EDO del primo ordine. Integrale generale. Curve integrali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita' locale. Contresempi. Metodi risolutivi per equazioni lineari (fattore integrante), equazioni a variabili separabili, equazioni autonome; cambiamenti di variabile dipendente, riduzione dell'ordine. Proprieta' qualitative: comportamento per tempi lunghi, grafico delle curve integrali, EDO dipendenti da un parametro. Punti critici per EDO autonome e loro stabilita'.

Sistemi di EDO. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita' locale. Relazione tra EDO di ordine superiore al primo e sistemi. Problema di Cauchy per EDO di ordine superiore al primo.

EDO del secondo ordine lineari. Wronskiano. Esistenza di un sistema fondamentale (base) di soluzioni. Metodi risolutivi per equazioni omogenee:  riduzione dell'ordine, equazioni a coefficienti costanti, cambiamenti di variabile, sviluppo in serie di potenze. Equazioni di Eulero. Metodi risolutivi per equazioni non omogenee: metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza. Problemi con valori al contorno.

Punti critici di sistemi di EDO. Punti critici isolati. Punti critici asintoticamente stabili, stabili, instabili. Classificazione dei punti critici per sistemi lineari omogenei autonomi a coefficienti costanti.  Classificazione dei punti critici per sistemi nonlineari autonomi: teorema di linearizzazione. Classificazione dei punti critici per EDO autonome del II ordine: metodi di energia, riduzione dell'ordine.

5. Calcolo integrale in piu' variabili.

Integrali multipli: Definizione di insieme misurabile secondo Peano. Definizione di integrale di una funzione continua su un dominio misurabile. Regioni semplici. Teorema di Fubini. Baricentro e momenti. Teorema di Pappo. Cambiamento di variabili negli integrali multipli.

Forme differenziali. Definizione di regolarita', chiusura, esattezza. Chiusura di forme esatte.  Integrali curvilinei di forme differenziali: definizione e proprieta' (invarianza per cammini orientati, linearita'). Formule di Gauss-Green nel piano.  Teorema della divergenza nel piano. Formula di integrazione per parti in piu' variabili. Insiemi semplicemente connessi; esattezza di forme chiuse su domini semplicemente connessi del piano. Applicazioni: calcolo delle aree, integrali curvilinei di forme esatte.
Parallelismo con la teoria dei campi (campi conservativi, irrotazionali, lavoro).

Integrali superficiali. Definizione per superfici cartesiane e superfici parametriche regolari. Il teorema della divergenza nello spazio. Il teorema del rotore (o di Stokes).

6. Serie di Fourier

Prodotto scalare quadratico (in L^2) tra funzioni; norma quadratica indotta; distanza indotta; convergenza in norma quadratica; relazione tra convergenza uniforme e quadratica su domini limitati. Definizione di sistema ortonormale.

Il sistema ortonormale trigonometrico. Polinomi trigonometrici. Polinomi di Fourier. I polinomi di Fourier come polinomi minimi in L^2. Serie di Fourier. Convergenza in norma quadratica dei polinomi di Fourier (cenno). Criterio di convergenza puntuale. Criterio di convergenza uniforme.