A.A. 2004-2005

Su ogni argomento sono richieste definizioni, risultati, esempi, contresempi e applicazioni.
Le parti sottolineate si riferiscono ad enunciati di cui e' anche richiesta la dimostrazione

0. Preliminari

Simboli di logica matematica. Richiami di teoria degli insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali. Assioma di completezza. Intervalli. Il valore assoluto. Disuguaglianze  triangolare, di Cauchy-Schwarz. Maggiorante e minorante di un insieme.  Massimo e minimo. Estremo superiore ed inferiore.

1. Funzioni

Funzione: definizione, dominio, immagine; funzione iniettiva, suriettiva, biettiva, invertibile; funzione inversa. Funzioni elementari di una variabile reale e loro grafici: funzioni lineari, potenze con esponente intero, radici; potenze con esponente razionale e reale; esponenziali e logaritmi; funzioni trigonometriche. Funzioni composte. Funzioni monotone.

2. Successioni e serie numeriche

Limite di successione. Successioni convergenti, divergenti, irregolari. Unicita' del limite. Proprieta' del limite. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri.  Limite di successioni monotone. Il numero e.  Altri limiti notevoli. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Sommatorie. Serie. Serie convergenti, divergenti, irregolari. Serie geometrica: convergenza e somma. Serie armonica, serie armonica generalizzata: comportamento.  Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini positivi. Criteri del confronto, del confronto asintotico, della radice, del rapporto. Serie a termini di segno alterno. Criterio della convergenza assoluta,  criterio di Leibnitz.

3. Elementi di topologia

Distanza in R ed in R^N. Intorni.  Caratterizzazione di estremo superiore e inferiore. Punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Insiemi limitati. Punti di accumulazione. Caratterizzazione dei chiusi. Insiemi compatti (per successioni).

4. Funzioni: limiti e continuita'

Limiti e continuità di funzioni. Limite di funzione.  Proprietà del limite (unicità, permanenza del segno, confronto, operazioni). Alcuni limiti notevoli. Limite di funzioni composte. Funzioni infinitesime/infinite. I simboli ~ e o piccolo. Ordini di infinitesimo/infinito. "Algebra degli o -piccolo". Gerarchie di infinitesimi/infiniti. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema "ponte" e non esistenza di limiti di funzioni.
Continuità. Proprieta' elementari delle funzioni continue (operazione, composizione). Teoremi fondamentali sulle funzioni continue (degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass). Classificazione dei punti di discontinuita'.

Limiti e continuita' in R^N.

5. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale

Definizione di differenziabilita' e di differenziale. Derivata destra e sinistra. Punti di non derivabilità e loro classificazione. Continuità delle funzioni derivabili.  Operazioni elementari.  Regola della catena.  Derivazione della funzione inversa, di funzioni composte. Funzioni iperboliche e loro derivate. Tabella delle derivate fondamentali.  Punti critici. Estremi locali. Teorema di Fermat. Ricerca di massimi e minimi. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e conseguenze (lipschitzianità, monotonia). Derivate successive. Funzioni concave e convesse. Flessi. Studio del grafico di una funzione. Teorema di de l'Hopital. Polinomio di Taylor e di Mac Laurin.  Teorema di Peano.  Polinomio di Taylor di funzioni elementari. Applicazioni per il calcolo di limiti. Serie di Taylor. Funzioni analitiche.

6. Calcolo integrale per le funzioni di una variabile reale

Integrale secondo Riemann esteso ad un intervallo. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale. Funzioni integrali. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazioni di funzioni elementari. Integrazione di funzioni razionali. Metodi di integrazione per funzioni irrazionali, trigonomentriche, composte.

Cenno agli integrali impropri: definizione di funzione integrabile in senso improprio su un dominio illimitato, criterio del confronto e del confronto asintotico.