Corso di Dottorato
Tecniche di Omogeneizzazione ed
Applicazioni ai Tessuti Biologici
a.a. 2009/2010

Programma del corso

Analisi Funzionale    
•    Spazi BV ed SBV   
•    Variazione totale
•    Convergenze
•    Decomposizione canonica della derivata
•    Teorema di Radon-Nykodim
•    Teorema di Rellich
•    Disuguaglianza di Poincaré

Bibliografia:    
Ambrosio, Fusco, Pallara - Functions of bounded variation and free discontinuity problems - Oxford University Press, New York, (2000).
L. C. Evans and R. F. Gariepy - Lecture Notes on Measure Theory and Fine Properties of Functions - CRC Press, Boca Raton (1992).
E. Giusti - Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation - Birkhäuser, Boston (1984).
W. Rudin - Real and Complex Analysis - Mc Graw--Hill, New York, (1966).

Analisi Convessa   
•    Definizione di convessità, s.c.i. e relazioni
•    Derivata di Gateaux e di Frechet
•    Equazioni di Eulero

Bibliografia:    
B. Dacorogna -  Direct methods in the calculus of variations - Springer, Berlin, (1982).
Ekeland, R. Temam - Analyse convexe et problémes variationnels - Dunod, Paris, (1974) (Traduzione inglese: North-Holland (1976)).
R.T. Rockafellar - Convex Analysis - Princeton University Press, (1970).

Metodi Diretti       
•    Teorema di Weierstrass
•    Successioni minimizzanti e coercività
•    Teorema di esistenza del minimo
•    Applicazioni negli spazi di Sobolev

Bibliografia:    
B. Dacorogna -  Direct methods in the calculus of variations - Springer, Berlin, (1982).
G. Dal Maso - An introduction to Γ-convergence - Birkhäuser, Boston, (1993).

Omogeneizzazione   
•    Studio del caso modello (problemi di buona posizione)
•    Sviluppi asintotici formali
•    Stima dell’energia
•    Metodo di Tartar
•    Principio del massimo
•    Stima dell’errore

Bibliografia:    
A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolaou - Asymptotic Analysis for Periodic Structures - North Holland, Amsterdam (1978).
N. Bakhvalov, G. Panasenko - Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media. Mathematical Problems in the Mechanics of Composite Materials - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1989).
E. Sánchez-Palencia - Non Homogeneous Media and Vibration Theory – vol. 127 of “Lecture notes in physics”,
Springer Verlag (1980).

Applicazioni ai tessuti biologici   
•    Motivazione del problema
•    Introduzione del modello nella singola cellula
•    Concentrazione formale
•    Stima dell’energia
•    Disuguaglianza di Poincaré   
•    Discussione sulle possibili scalature
•    Buona posizione del problema microscopico
•    Omogeneizzazione formale
•    Dimostrazione rigorosa del modello macroscopico
•    Buona posizione del problema macroscopico

Bibliografia:    
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni -  Homogenization limit for electrical conduction in biological tissues in the radio-frequency range. Comptes Rendus Mecanique, 331, 503-508 (2003). Elsevier.
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Evolution and memory effects in the homogenization limit for electrical conduction in biological tissues -  Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 14, 1261-1295 (2004). World Scientic.
M.Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - An elliptic equation with history - C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 338, 595-598 (2004).
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Existence and uniqueness for an elliptic problem with evolution arising in electrodynamics. Nonlinear Analysis Real World Applications, 6, 367-380 (2005). Elsevier.
M.Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - On a hierarchy of models for electrical conduction in biological
Tissues - Math. Methods Appl. Sci., 29, 767-787 (2006).
M.Amar, D.Andreucci, P.Bisegna, R.Gianni - Stability and memory effects in a homogenized model governing the electrical conduction in biological tissues - Journal of Mechanics of Materials and Structures, 4 (2), 211—223 (2009).
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Exponential asymptotic stability for an elliptic equation with memory arising in electrical conduction - Euro. Jnl. of Applied Mathematics, 20, 431-459 (2009).
M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni - Homogenization limit and asymptotic decay for electrical conduction in biological tissues in the high radiofrequency range - To appear on Discrete and Continuous Dynamical Systems (2010).
F. Lene, D. Leguillon - Étude de l'influence d'un glissement entre les constituants d'un matériau composite sur ses coefficients de comportement effectifs. Journal de Mécanique, 20, 509-536, 1981.
R. Lipton - Heat conduction in fine scale mixtures with interfacial contact resistance - SIAM Journal of Applied Mathematics, 58, 55-72, 1998.
M. Pennacchio, P. Colli Franzone, G. Savaré - Multiscale modelling for the bioelectric activity of the heart - Siam J. Math. Anal., 37 (4), 1333-1370 (2005).