15. Estensione del prodotto di convoluzione ad alcune distribuzioni.

e quindi

.

Mediante il cambiamento di variabile

si ottiene la relazione

ove con << >> si è indicata la dualità in due variabili. La relazione (*) suggerisce quindi la seguente definizione di convoluzione per due distribuzioni

.

Notiamo che nelle due variabili la funzione non ha supporto limitato; infatti posto supp , nel piano supp è nella striscia rappresentata nella figura:

Poiché la distribuzione in due variabili è - a priori - solo sulle funzioni test in due variabili, occorrono delle ipotesi su T ed S in modo che, di fatto, intervenga nella dualità solo una parte limitata del supporto di . I due casi principali che si considerano sono:

1. T (oppure S ) con supporto limitato. Infatti se supp si ha:
2. T e S con supporto in una stessa semiretta ad esempio .

Infatti in tal caso:

implicano, di fatto, nel triangolo di vertici (0,0), (0,b), (b,0) del I quadrante (supposto b > 0).

Per ogni distribuzione T è possibile considerare la convoluzione con la di Dirac e si ha

ossia

.

La si comporta come l'unità del prodotto di convoluzione. Non è invece possibile, ad esempio, considerare la convoluzione . Infatti essendo supp 1 = R, segue che ha supporto su tutto il piano.