Tra i tanti problemi ancora aperti che pone il
sistema di Navier-Stokes stazionario alcuni tra i
più significativi sono indubbiamente quelli di stabilire se (i)
il teorema di Leray,
nell'accezione più generale di ''flussi" piccoli, continua a
valer in domini limitati ed esterni
con dati e frontiere non necessariamente regolari; ad esempio, supposta
la frontiera
lipschitziana e il dato al bordo continuo, esiste una soluzione del
sistema (NSS) regolare ne
dominio e continua fino alla frontiera? (ii) è assicurata
l'esistenza di una soluzione per il
problema di Robin? (iii) vale ancora il teorema di H.Fujita-H. Morimoto
nei domini esterni?
Un'attenta lettura del lavoro originario di Leray (1933) ha portato
l'estensore di queste righe
alla convinzione che una possibilità di successo nella
dimostrazione dei suddetti problemi
potrebbe venire (vedi R.Russo, 2003) innanzitutto da un approfondito
studio del problema
(lineare) di Stokes (PLS) con frontiere e dati poco regolari,
successivamente, dalla impostazione
del problema non lineare attraverso la sua traduzione in un'equazione
integrale (EI) in cui non
appaia la funzione di Green di (PLS) e, infine, dalla determinazione di
punti fissi di (EI).
Precisamente, si cerca un punto fisso dell'operatore non lineare dato
dalla somma della soluzione
di (PLS) con il dato al bordo assegnato, del potenziale di volume
avente come densità il termine
non lineare e della soluzione di (PLS) avente come dato al bordo
ll'opposto della traccia di tale
potenziale. Ciò consente di avvalersi di classici risultati
relativi a trasformazioni integrali
(singolari o non) senza utilizzare la funzione di Green che richiede
notevoli ipotesi di
regolarità sulla frontiera. Lo scopo dell'unità di
ricerca è quello di risolvere i problemi posti
in (i), (ii) e (iii), utilizzando il procedimento su esposto.
