Programma di Geometria (AA 14-15)
(I riferimenti sono ai libri indicati in fondo)
Insiemi. Unione, intersezione,
complementare di un insieme. Insieme delle parti. Principio di induzione.
Prodotto cartesiano tra insiemi. Relazioni. [1, Capitolo 1]
Se X è un insieme con n elementi
allora esso ha 2n sottoinsiemi.
Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi. Direzione come classe di rette parallele.
Relazioni di congruenza. [1, Capitolo 1]
Relazioni d'ordine. Insieme
ordinato e insieme totalmente ordinato. Funzioni. Funzioni iniettive,
suriettive. Corrispondenze biunivoche. Composizione di funzioni. Funzioni
invertibili.
[1, Capitolo 1]
Permutazioni. Permutazioni
pari e dispari. [1, Capitolo 1].
Introduzione ai numeri reali: struttura di campo di R e di Q. Qualche proprietà della relazione
d'ordine di R. Diseguaglianza di
Bernoulli. Completezza di R.
Introduzione ai numeri
complessi. Struttura di campo di C . Coniugato di un numero
complesso. Modulo di un numero complesso. Proprietà. Rappresentazione dei
complessi come punti di un piano. Forma polare o trigonometrica dei numeri
complessi. Calcolo di potenze di un numero complesso.
Radici n-esime di un numero
complesso. Radici dell'unità. Radici primitive. Teorema fondamentale
dell'algebra. Esercizi.
Definizione di spazio
vettoriale [1. Capitolo 2]
Operazioni nell'insieme Rn.
Concetto di spazio vettoriale. Combinazione lineare. Dipendenza lineare.
Generatori. Sottospazio. Vettori linearmente indipendenti. Base di uno spazio vettoriale. [1, Capitolo
2]. [4, Capitolo 2].
Concetto di dimensione. Base
canonica (naturale, standard) di Rn.
Prodotto scalare in Rn.
Introduzione alle matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio
vettoriale nell'insieme delle matrici. [2, Capitolo 1]. [4, Capitolo 2]
Trasposizione di matrici e
proprietà. Matrici simmetriche. Introduzione al metodo di eliminazione di
Gauss. Matrice di un sistema lineare. Matrice completa di un sistema.
Operazioni elementari sulle equazioni. [2, Capitolo 1].
Operazioni elementari sulle
righe di una matrice. Forma a scala di una matrice. Forma a scala ridotta.
Pivot. Metodo di soluzione dei sistemi lineari mediante la riduzione a scala. [2,
Capitolo 1].
Interpretazione di un sistema
secondo le colonne. Rango di una matrice come numero dei pivot. Cenni al
teorema di Rouché-Capelli. Condizione di incompatibilità di un sistema: pivot
nell'ultima colonna della matrice completa o, equivalentemente, rango di A diverso da rango di C. Sistemi omogenei. L'insieme delle
soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio vettoriale di dimensione n-r. [2, Capitolo 1]
Moltiplicazione tra matrici:
prodotto righe per colonne. Proprietà del prodotto tra matrici. Ordini
compatibili. Prodotto non commutativo. Matrice identità. Matrici invertibili.
Matrici nilpotenti. [2, Capitolo 1]
Algoritmo di inversione. Unicità della matrice inversa. Proprietà
della matrice inversa. Condizioni equivalenti per l'invertibilità. [2, Capitolo
1, (1.5)]
Conclusione della
dimostrazione del teorema sulle condizioni equivalenti. Matrici
elementari. Proprietà delle matrici
elementari. Una matrice è invertibile se
e solo se è il prodotto di matrici elementari. Generalizzazione dell'algoritmo
di inversione. Fattorizzazione di una matrice A. [2, Capitolo 1, 1.6]
Definizione di determinante
usando i prodotti competenti. Regola di
Sarrus. Primo Teorema di Laplace. [1,
sez.3.3] Operazioni elementari e proprietà del determinante.[2, Capitolo
2]
Cofattori
o complementi algebrici. Dimostrazione del Teorema di Binet (o del prodotto).
Determinante della matrice
inversa. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso
da zero. Matrice aggiunta. Formula di aggiunzione. [2, Capitolo 2]
Dimostrazione della formula
di aggiunzione. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer. Minori di una
matrice. Rango per minori. [2, Capitolo 2]
Minori principali. Spazio
delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per
colonne. Se due matrici sono equivalenti per righe allora hanno lo stesso
spazio delle righe. Il rango per righe di una matrice coincide col suo rango
per pivot e con il rango per colonne. [1, Capitolo 3]
Il rango per minori coincide
con il rango per pivot. Estrazione di una base da un insieme di generatori di Rn. Calcolo delle potenze di
una matrice. Definizione di autovalore, autovettore, polinomio caratteristico.
[2, Sezione 2.3]
Equazione caratteristica.
Calcolo di autovalori e autovettori. Autospazi. [2, Capitolo 2]
Matrice diagonalizzabile. Una
matrice è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di Rn composta da
autovettori. Condizione sufficiente per la diagonalizzabilità. Molteplicità
algebrica e geometrica di un autovalore. Condizione necessaria e sufficiente
per la diagonalizzabilità. Esempi di matrici non diagonalizzabili. Algoritmo di diagonalizzazione. Definizione
di matrici simili. [2, Capitolo 2]
Proprietà della similitudine
tra matrici. Traccia di una matrice. Coefficienti del polinomio caratteristico.
Caso di ordine 2. Teorema di Cayley-Hamilton (senza dimostrazione).
Applicazione del teorema al calcolo di potenze di una matrice e al calcolo
dell'inversa. [2, Capitolo 2]
Vettori applicati.
Definizione di vettori liberi (vettori geometrici) del piano. Operazioni sui
vettori. Spazio vettoriale V2. [1, Capitolo 6]
Coordinate cartesiane
ortogonali. Identificazione di V2
con M(2x1) (Isomorfismo) .
Condizione di allineamento di tre punti. Dipendenza lineare di vettori e suo
significato geometrico. Base ortogonale di
V2 . Equazione
cartesiana della retta. Equazioni parametriche. Passaggio dalle equazioni
parametriche all'equazione cartesiana e viceversa. Parametri direttori.
Condizione di parallelismo tra vettori. [1, Capitolo 6].
Prodotto scalare in V2 .
Formula intrinseca. Coefficiente di Fourier. Proiezione ortogonale di un
vettore lungo la direzione di un altro vettore. Interpretazione geometrica del
prodotto scalare tra vettori geometrici. [1, Capitolo 6]
Formula per il coseno di un
angolo tra due vettori. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra
due rette. Distanza punto-retta. Area
del triangolo in funzione delle coordinate dei vertici. [1, Capitolo 6]
Angolo tra due rette. Rette
orientate. Coseni direttori. Circonferenze. [1, Capitolo 6]
Introduzione alle coniche.
Coniche in forma canonica definite a partire da un fuoco, dall'eccentricità e
da una direttrice. Caso dell'eccentricità minore di 1: ellisse. [1, Capitolo 6]
Caso dell'eccentricità
maggiore di 1: iperbole. Caso dell'eccentricità uguale a 1: parabola. Matrice
del cambiamento di coordinate di vettore. Matrice ortogonale.
[1, Capitolo 6]
Formule del cambiamento di
coordinate di punto. Coniche generali e coniche degeneri. Matrice di una
conica. Teorema di classificazione delle coniche. Punti impropri. Coordinate
omogenee. Coordinate omogenee di punti impropri.
Retta e piano ampliato.
Equazione della retta impropria. Classificazione delle coniche attraverso l'intersezione
con la retta impropria. Centro di una conica. Ricerca dei punti doppi di una
conica e determinante della matrice della conica.
Riduzione in forma canonica
delle coniche. Caso delle coniche a centro. Caso delle parabole. Asse di
simmetria della parabola. Metodo degli invarianti. [1, Capitolo 7]
Uso del metodo degli
invarianti con coniche a centro e con parabole. Curve in coordinate polari.
Equazioni delle coniche in coordinate polari con fuoco nell'origine.
Introduzione alla geometria
analitica dello spazio tridimensionale. Equazione cartesiana di un piano.
[1,Capitolo 8]
Terne equiverse e contraverse
di vettori. Definizione del prodotto vettoriale. Proprietà. Formula per il
calcolo del prodotto vettoriale. Interpretazione del modulo del prodotto
vettoriale come area di un parallelogramma. Prodotto misto. Formula per il
calcolo del prodotto misto. Interpretazione del modulo del prodotto misto come
volume di un parallelepipedo.
Equazione cartesiana e
parametrica di una retta nello spazio. [1, Capitolo 8]
Equazione della retta in
forma di rapporti uguali. Parametri direttori di una retta. Formule per i
parametri direttori. Condizione di parallelismo tra due piani. Significato
geometrico dei parametri di giacitura di un piano. Condizione di
perpendicolarità di piani. [1, Capitolo 8]
Condizione di parallelismo
retta-piano. Condizione di perpendicolarità retta-piano. Condizione di
complanarità di due rette. Condizione di complanarità di due rette date in
equazioni ridotte. Rette sghembe.
Formula per la distanza di due rette parallele. [1, Capitolo 8]
Formula per la distanza di
due rette sghembe. Metodo dei punti mobili. Distanza punto-piano. Distanza tra
due piani paralleli. Equazione di una sfera.
[1, Capitolo 8]
Piano tangente ad una sfera.
Circonferenza nello spazio. Definizione di superficie quadrica. Quadriche in
forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere.
[1, Capitolo 8]
Concetto di spazio vettoriale
in generale. Esempi vari. Caratterizzazioni del concetto di base di uno spazio
vettoriale. Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente
generato. Esempi di spazi di dimensione infinita. Teorema fondamentale o Lemma
di Scambio. [1, Capitolo 11][2, Capitolo 5]
Conseguenze del teorema
fondamentale. Teorema di Invarianza. Base come insieme minimale di generatori o
insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Intersezione di
sottospazi. Spazio somma. Formula di Grassmann (senza dim.). Equazioni
cartesiane di un sottospazio. [1, Capitolo 11] [2, Capitolo 5]
Trasformazioni lineari.
Esempi. Trasformazioni lineari indotte da una matrice. Trasformazioni lineari
di V2: rotazioni, proiezioni e riflessioni. [1, pagina 90 e Capitolo
12], [2, paragrafo 3.5.2 e Capitolo 5]
Nucleo e immagine di una
applicazione lineare. Caratterizzazione di applicazioni lineari iniettive e
suriettive mediante il nucleo e l'immagine. Teorema delle dimensioni. [1,
Capitolo 12] [2, Capitolo 5]
Dimostrazione del teorema
delle dimensioni. Esempi. Coordinate di un vettore rispetto ad una base
ordinata fissata. Matrice associata ad una applicazione lineare. [1, Capitolo
12] [2, Capitolo 5]
Isomorfismo di uno spazio
vettoriale di dimensione n e Kn. Esempi di
matrici associate ad applicazioni lineari. Caso di un endomorfismo. La matrice associata all'applicazione inversa
coincide con l'inversa della matrice. La matrice della composizione di due
applicazioni lineari coincide col prodotto delle matrici.
[1,Capitolo 12] [2,Capitolo
5]
Matrice del cambiamento di
base. Matrici di uno stesso endomorfismo sono simili.
Determinante, traccia,
polinomio caratteristico di un endomorfismo. Diagonalizzazione
di un endomorfismo.
[1,Capitolo 12][2,Capitolo 5]
Dimostrazione che matrici di
uno stesso endomorfismo sono simili. Esercizi su diagonalizzazione.
[1, Capitolo 12] [2, Capitolo 5]
Spazi euclidei. Base
ortonormale. Esistenza di basi ortonormali: procedimento di Gram-Schmidt.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. [1, Capitolo 15][2,
Sezione 4.5]
Sviluppo di Fourier di un
vettore rispetto ad una base ortonormale.
Proiezione ortogonale come endomorfismo.
Complemento ortogonale di un sottospazio di Rn. Somma diretta.
Teorema dell'approssimazione.[1, Capitolo 15] [2, Sezione 4.5]
Dimostrazione del Teorema
dell'approssimazione. Proprietà delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione
ortogonale. [1, Capitolo 15] [2, Sezione 4.5]
Esercizi su diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli assi
principali.[2, Sezione 4.7]
Forme quadratiche. Matrici
simmetriche associate alle forme quadratiche. Diagonalizzazione
di forme quadratiche. Matrici definite positive (negative), semidefinite
positive (negative), indefinite. Criteri. [2, Sezione 4.8]
Soluzioni approssimate ai
minimi quadrati di un sistema lineare incompatibile. [2, Sezione 4.6]
Definizione di prodotto
scalare in generale. Esempi di prodotto scalare in vari spazi.
Polinomi interpolatori di Lagrange. [2, Sezione 5.7]
Curve parametriche come
funzioni a valori vettoriali. Derivate
di prodotti scalari e vettoriali. Arco di curva regolare . Riparametrizzazione.
Curva regolare . Curva rettificabile. [1, Capitolo 9]
Una curva regolare è
rettificabile. Curve regolari a tratti.
Formula per la lunghezza di una curva regolare. Definizione di ascissa
curvilinea. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. [1, Capitolo 9]
Rette secanti e tangenti ad
una curva. Integrale lungo la curva. Curvatura. Formula per la curvatura in
funzione di un parametro arbitrario. [1, Capitolo 9]
Bibliografia (i
primi due della lista sono i libri di testo veri e propri. Gli altri possono
essere di utile consultazione)
1. S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria,
Esculapio, 2010 Errata
Corrige del testo
2. W. Keith Nicholson: Algebra
Lineare, dalle applicazioni alla teoria, McGraw-Hill 2002