Diario delle lezioni

Diario delle lezioni (AA 17-18)

(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo Pisano, Liber Abaci)

"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."

G. Chaucer, The Canterbury Tales, Prologue

In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti al libro di testo. Gli altri libri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.

25 settembre 2017 Lezione 1

Introduzione al corso di Geometria. Come prepararsi ad un esame universitario di matematica.

26 settembre 2017 Lezione 2

Insiemi. Operazioni su insiemi: unione, intersezione, complementare. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di due insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi. Relazione di congruenza.

Esercizio: Determinare la classe di equivalenza (o classe di congruenza) di 1234567 modulo 11, in particolare determinare il più piccolo intero non negativo della sua classe di congruenza.

[Cap 1.1, 1.2, 1.3]

27 settembre 2017 Lezione 3

Funzioni o applicazioni, Iniettive, Suriettive, Biettive. Dominio, immagine, controimmagine, permutazioni. Composizione di applicazioni.

[Cap 1.4, 1.5]

28 settembre 2017 Lezione 4

Funzione identità. Funzione inversa. Funzioni invertibili. Definizione di operazione binaria. Principio di induzione.

[Cap 1.6, 1.7]

29 settembre 2017 Lezione 5

I numeri reali. I numeri complessi. Coniugato. Modulo. Operazioni sui numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi.

[Cap 1.8, 1.9, 1.10]

2 ottobre 2017 Lezione 6

Formula di DeMoivre. Radici n-esime di un numero complesso. Nozione di spazio vettoriale Rⁿ. Operazioni su n-ple di numeri reali. Combinazione lineare di vettori di Rⁿ. Vettori linearmente dipendenti e proprietà. [Cap. 1.10, 2.1, 2.2]

3 ottobre 2017 Lezione 7

Vettori linearmente indipendenti. Sottospazio vettoriale. Generatori di un sottospazio. Base di un sottospazio. Dimensione di un sottospazio. Ogni vettore di un sottospazio è combinazione lineare dei vettori di una base in modo unico. Base canonica o standard di Rⁿ.

[Cap. 2.3, 2.4]

4 ottobre 2017 Lezione 8

Prodotto scalare tra vettori di Rⁿ. Matrici. Ordine di una matrice. Trasposta di una matrice. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale per matrici dello stesso ordine.

[Cap. 3.1, 3.2]

5 ottobre 2017 Lezione 9

Algoritmo di riduzione di Gauss (Gauss-Jordan). Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Soluzione di un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Pivot.

[Cap. 3.3, 3.4]

6 ottobre 2017 Lezione 10

Equazioni lineari. Soluzione di un’equazione lineare. Sistemi lineari. Soluzione di un sistema. Sistemi equivalenti. Matrice del sistema, matrice completa del sistema. Matrici equivalenti per righe. Unicità della forma a gradini ridotta di una matrice. Rango per pivot di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Moltiplicazione righe per colonne di una matrice. Alcune proprietà della moltiplicazione: non commutatività. Matrici nilpotenti.

[Cap. 3.4, 3.5, 3.6]

9 ottobre 2017 Lezione 11

Invertibilità di una matrice. Definizione di matrice identità e di matrice inversa. Algoritmo di inversione. Inversa del prodotto di due matrici.

[Cap. 3.6]

10 ottobre 2017 Lezione 12

Proprietà delle matrici invertibili. Condizioni equivalenti all’invertibilità e dimostrazione.

[Cap. 3.6]

11 ottobre 2017 Lezione 13

Matrici elementari. Introduzione al concetto di determinante. Definizione mediante prodotti competenti e segno secondo la parità della permutazione.

[Cap. 3.6, 3.8]

12 ottobre 2017 Lezione 14

Cofattori o complementi algebrici. Primo e secondoTeorema di Laplace. Proprietà dei determinanti secondo le operazioni elementari. Legame tra invertibilità di una matrice e valore del determinante.

[Cap. 3.8]

13 ottobre 2017 Lezione 15

Teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice aggiunta. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer.

[Cap. 3.8]

16 ottobre 2017 Lezione 16

Invertibilità di una matrice e indipendenza delle sue righe e colonne. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Rango per minori. Teorema degli orlati. Coincidenza dei ranghi. Rango di una matrice.

[Cap. 3.8]

17 ottobre 2017 Lezione 17

Come trovare una base per lo spazio delle colonne di una matrice. Alcuni esercizi per la risoluzione di un sistema lineare in dipendenza da un parametro e mediante la regola di Cramer.

[Cap. 3.8, 3.9]

18 ottobre 2017 Lezione 18

Introduzione e motivazione per la diagonalizzazione di matrici. Definizioni. Autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico e equazione caratteristica.

[Cap. 4.1, 4.2]

19 ottobre 2017 Lezione 19

Diagonalizzabilità in relazione a una base costituita da autovettori. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi di matrici non diagonalizzabili.

[Cap. 4.2]

20 ottobre 2017 Lezione 20

Criterio sufficiente per la diagonalizzazione (autovalori distinti). Criterio necessario e sufficiente. Matrici Simili. Proprietà delle matrici simili. Traccia e determinante di una matrice come coefficienti del polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton . Calcolo dell’inversa e delle potenze di una matrice quadrata mediante il teorema di Cayley-Hamilton.

[Cap. 4.3]

23 ottobre 2017 Lezione 21

Vettori liberi o geometrici come classi di equipollenza. Operazioni sui vettori liberi e struttura di spazio vettoriale su V₂. Significato geometrico di dipendenza e indipendenza lineare. Due vettori di V₂ sono dipendenti se e solo se sono paralleli. Tre o più vettori sono sempre dipendenti. Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Rappresentazione cartesiana di vettori. Coordinate di un vettore libero. Prodotto scalare e suo significato geometrico.

[Cap. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7]

24 ottobre 2017 Lezione 22

Parallelismo tra vettori. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Versore e normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Punto medio di un segmento. Area di un triangolo.

[Cap. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9]

25 ottobre 2017 Lezione 23

Equazione cartesiana di una retta. Varie forme dell’equazione. Parametri direttori e coseni direttori di una retta. Significato geometrico dei coseni direttori. Angolo tra due rette. Scelta di una orientazione su una retta.

[Cap. 5.10, 5.11, 5.14, 5.15]

26 ottobre 2017 Lezione 24

Intersezione e parallelismo di rette. Fasci propri e impropri di rette. Equazioni parametriche di una retta. Condizione di perpendicolarità. Forma ridotta di una retta. Coefficiente angolare. Espressione delle condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tramite il coefficiente angolare.

[Cap. 5.12, 5.13, 5.15]

27 ottobre 2017 Lezione 25

Distanza punto-retta. Cambiamenti di riferimento nel piano. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice del cambiamento. Definizione di matrice ortogonale.

[Cap. 5.16, 5.17]

30 ottobre 2017 Lezione 26 Cambiamento di coordinate di punto. Matrici ortogonali. Esercizi. La circonferenza.

[5.17, 6.1]

31 ottobre 2017 Lezione 27 Ancora sulla circonfrenza. Introduzione alle coniche. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d, una eccentricità e. Caso dell’ellisse.

[6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5]

1 novembre 2017 Vacanza

2 novembre 2017 Lezione 28 Ancora su equazioni canoniche di ellisse, iperbole, parabola. Esercizi.

[6.4,6.5,6.6] [Capitolo 6 del libro di esercizi]

3 novembre 2017 Lezione 29 Classificazione delle coniche. Coniche generali e coniche degeneri. Coniche generali a centro. Centro di simmetria e assi di simmetria. Asintoti di un’iperbole.

[7.1, 7.2, 7.4]

6 novembre 2017 Lezione 30

Asse di simmetria di una parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali.

[7.3,7.5]

7 novembre 2017 Lezione 31

Metodo degli invarianti. Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee.

[7.6, 7.7]

8 novembre 2017 Lezione 32

Coniche classificate mediante i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una conica.

[7.7,7.8]

9 novembre 2017 Lezione 33

Curve piane. Curve in coordinate polari. Equazioni delle coniche in coordinate polari. La cardioide. Equazioni parametriche di curve piane. Introduzione alla geometria dello spazio.

[Cap 8]

10 novembre 2017 Lezione 34

Orientazione dello spazio: terne equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale. Formula per il calcolo del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale.

[Cap. 9.1, 9.2]

13 novembre 2017 Lezione 35

Prodotto misto e suo significato geometrico. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo tra piani. Parametri di giacitura. Vettore normale al piano. Euqazioni cartesiane di una retta nello spazio.

[9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7]

14 novembre 2017 Lezione 36

Formule per i parametri direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di rette, rette sghembe.

[9.8, 9.9, 9.10]

15 novembre 2017 Lezione 37

Mutue posizioni di rette. Stelle e fasci di rette. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta –piano. Distanza punto-piano, tra due piani, tra rette parallele,

punto –retta , tra rette sghembe.

[9.11, 9.12, 9.14, 9.15, 9.18]

16 novembre 2017 Lezione 38

Metodo dei punti mobili. Retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe. Angoli: tra due rette, tra due piani, tra piano e retta.

[9.13, 9.16, 9.17]

17 novembre 2017 Lezione 39

Sfera. Quadriche in forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere: cono e cilindro.

[9.19, 9.20]

Una galleria interattiva di quadriche

20 novembre 2017 Lezione 40

Introduzione alla nozione astratta di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi di Rⁿ. Base e dimensione. Lemma dello scambio di Steinitz (con dimostrazione).

[10.1, 10.2, 10.3, 10.4]

21 novembre 2017 Lezione 41

Operazioni sui sottospazi: somma e intersezione. Relazione di Grassmann (senza dim.). Somma diretta di sottospazi.

[10.5]

22 novembre 2017 Lezione 42

Introduzione alle trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione ortogonale, riflessione. Esempi di matrici corrispondenti.

Definizione di nucleo e immagine di una trasformazione. Il nucleo è un sottospazio.

[11.1,11.2,11.3]

23 novembre 2017 Lezione 43

L’immagine di una applicazione lineare è un sottospazio. Calcolo del nucleo e dell’immagine e relazione con i sistemi lineari. Monomorfismi e nucleo nullo. Teorema delle dimensioni (con dimostrazione).

[11.3]

24 novembre 2017 Lezione 44

Dimostrazione del Teorema delle dimensioni. Corollario. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata.

[11.3]

Ore 9:45 Saluto del Presidente del Corso di Laurea in Ing. Elettronica Prof. Marzano.

27 novembre 2017 Lezione 45

Modello universale di spazio vettoriale. Matrici associate ad una trasformazione lineare.

[11.4, 11.5]

28 novembre 2017 Lezione 46

Matrice della composizione di due applicazioni. Matrice di cambiamento di base. Legame tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Definizione di determinante di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo, autovettori e autovalori di un endomorfismo.

[11.5, 11.6, 11.7]

29 novembre 2017 Lezione 47

Endomorfismi e Diagonalizzazione. Dimostrazione della relazione tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Nozioni metriche. Procedimento di Gram-Schmidt.

[11.8, 12.1]

Per gli studenti di Ing. delle Comunicazioni: qui trovate il link al questionario richiesto dal Consiglio di Area Didattica di Comunicazioni.

30 novembre 2017 Lezione 48

Disuguaglianza di Schwarz. Complemento ortogonale di un sottospazio. Somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sviluppo di Fourier.

[12.1]

1 dicembre 2017 Lezione 49

Teorema di approssimazione. Proprietà importanti delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli Assi Principali.

[12.2]

4 dicembre 2017 Lezione 50

Forme quadratiche. Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite, indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi principali. Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.).

[12.3]

5 dicembre 2017 Lezione 51

Metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali.Relazione tra il rango di una matrice A e di A^TA. Invertibilità di A^TA. Pseudoinversa di A. Matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio.

Introduzione agli spazi euclidei generali.

[12.4, 12.6]

6 dicembre 2017 Lezione 52

Nozione generale di spazio euclideo e di prodotto scalare. Vari esempi. Definizione di base ortogonale. Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange.

[12.6]

7 dicembre 2017 Lezione 53

Una applicazione dei polinomi di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare. Definizione di curva parametrica. Curva semplice e curva regolare.

[12.7, 13.1, 13.2, 13.3]

8 dicembre 2017 Vacanza

11 dicembre 2017 Lezione 54

Curve piane e curve sghembe. Curve regolari a tratti. Lunghezza di una curva. Elica. Astroide. Rette secanti e tangenti. Piano osculatore.

[13.4, 13.5, 13.9]

12 dicembre 2017 Lezione 55