Diario delle lezioni (AA 19-20)
In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti al libro di testo. In verde i riferimenti al libro di Esercitazioni (EG). Gli altri libri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo (cf. anche ERRATA CORRIGE).
Vedi anche (ERRATA CORRIGE Esercitazioni verde)
23 settembre 2019 Lezione 1 (Aula Bandinelli)
Introduzione al corso di
Geometria. Come prepararsi ad un esame universitario di matematica.
24 settembre 2019 Lezione 2 (Aula Bandinelli)
Notazione per insiemi.
Insiemi. Operazioni su insiemi: unione, intersezione, complementare. Insieme
delle parti. Prodotto cartesiano di due insiemi. Relazioni. Funzioni o
applicazioni, Iniettive, Suriettive, Biettive. Permutazioni di classe pari e
dispari.
[Cap 1.1, 1.2, 1.3]
25 settembre 2019 Lezione 3 (Aula Bandinelli)
Relazioni di equivalenza.
Esempi. Relazione di congruenza su Z.
Classi di equivalenza. Insieme quoziente.
[Cap 1.4,1.5]
26 settembre 2019 Lezione 4 (Aula Bandinelli)
Dominio, codominio, immagine
e controimmagine di una applicazione. Operazione binaria. Composizione di
applicazioni. Applicazioni invertibili.
[Cap 1.4,1.5, 1.6] [EG 1]
27 settembre 2019 Lezione 5 (Aula Bandinelli)
Principio di induzione.
Dimostrazioni con il principio di induzione. Esempi. Un insieme con n elementi possiede 2n sottoinsiemi: dimostrazione con il principio di
induzione.
[Cap 1.7, 1.8] [EG 2]
30 settembre 2019 Lezione 6 (Aula IV Castelnuovo)
Operazioni su coppie di numeri reali: Numeri complessi. Proprietà dei
numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria. Modulo di un numero
complesso. Forma trigonometrica e polare di un numero complesso. Argomento
principale.Interpretazione grafica delle operazioni di somma e prodotto di un
numero complesso.
[Cap 1.9, 1.10] [EG 3]
1 ottobre 2019 Lezione 7 (Aula IV Castelnuovo)
Radici n-esime di un numero complesso. Formula di De Moivre. Concetto di
spazio vettoriale Rn.
Definizione di combinazione lineare di vettori.
[Cap. 1.10, 2.1]
2 ottobre 2019 Lezione 8 (Aula IV Castelnuovo)
Dipendenza e indipendenza
lineare. Generatori di un sottospazio.
[Cap 2.2]
3 ottobre 2019 Lezione 9 (Aula IV Castelnuovo)
Sottospazi vettoriali. Base.
[Cap 2.3] [EG 4]
4 ottobre 2019 Lezione 10 (Aula IV Castelnuovo)
Caratterizzazione di una base
come un insieme di generatori che permettono una espressione unica per ciascun
vettore del sottospazio. Base canonica di Rn.
Dimensione. Definizione di prodotto scalare standard di Rn, alcune sue proprietà. Vettori ortogonali.
[Cap 2.3, 2.4] [EG 5]
7 ottobre 2019 Lezione 11 (Aula IV Castelnuovo)
Matrici: Prime definizioni.
Trasposta di una matrice. Proprietà.
Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale
per matrici di ordine fissato.
[Cap 3.1, 3.2] [EG 6]
8 ottobre 2019 Lezione 12 (Aula IV Castelnuovo)
Equazioni lineari. Sistemi di
equazioni lineari. Insieme delle soluzioni di un sistema. Matrice dei
coefficienti di un sistema. Matrice completa. Operazioni elementari sulle
equazioni e sulle righe della matrice. Matrice a gradini. Algoritmo di Gauss.
[Cap 3.3, 3.4] [EG 7]
9 ottobre 2019 Lezione 13 (Aula IV Castelnuovo)
Pivot. Rango per pivot. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari
omogenei. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un
sottospazio vettoriale.
[Cap 3.4, 3.5] [EG 8]
10 ottobre 2019 Lezione 14 (Aula IV Castelnuovo)
Come trovare una base
dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Prodotto righe per
colonne di due matrici con ordini compatibili. Proprietà del prodotto tra
matrici. Non commutatività. Matrice identità In. Definizione di
inversa di una matrice. Matrici invertibili.
[Cap 3.6] [EG 8]
11 ottobre 2019 Lezione 15 (Aula IV Castelnuovo)
Algoritmo di inversione.
Proprietà delle matrici invertibili. Teorema sulle condizioni equivalenti di
invertibilità. Dimostrazione.
[Cap 3.6] [EG 9]
14 ottobre 2019 Lezione 16 (Aula IV Castelnuovo)
Teorema sulle condizioni
equivalenti di invertibilità. Dimostrazione. Proprietà delle matrici
invertibili. Matrici elementari. Una matrice è invertibile se e solo se essa è
il prodotto di matrici elementari. Espressione per una matrice qualunque come
VA=R o anche A=LU.
[Cap 3.6, 3.7] [EG 10]
15 ottobre 2019 Lezione 17 (Aula IV Castelnuovo)
Definizione di determinante
come somma di prodotti competenti.
Definizione di cofattore o complemento algebrico. Primo teorema di
Laplace. Determinante di matrici triangolari e diagonali. Il determinante di
una matrice con una riga o colonna di zeri è nullo.
[Cap 3.8] [EG 11 e EG 12]
16 ottobre 2019 Lezione 18 (Aula IV Castelnuovo)
Proprietà del determinante in
relazione alle operazioni elementari.
Teorema 3.8.9 con dimostrazione. Secondo Teorema di Laplace.
[Cap 3.8]
17 ottobre 2019 Lezione 19 (Aula IV Castelnuovo)
Altre proprietà del
determinante. Determinante e invertibilità. Teorema di Binet. Una matrice è
invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.
[Cap 3.8] [EG 13]
18 ottobre 2019 Lezione 20 (Aula IV Castelnuovo)
Matrice aggiunta. Formula di
aggiunzione. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer.
[Cap 3.8]
21 ottobre 2019 Lezione 21 (Aula IV Castelnuovo)
Una matrice è invertibile se
e solo se le sue righe o colonne sono linearmente indipendenti. Minore di una
matrice. Minori principali. Rango per minori di una matrice mxn. Spazio delle
righe e spazio delle colonne. Rango per
righe e rango per colonne. Teorema del rango (dimostrazione facoltativa).
[Cap 3.8] (Esercizio)
22 ottobre 2019 Lezione 22 (Aula IV Castelnuovo)
Ancora sui sistemi di m
equazioni in n incognite. Risoluzione mediante la regola di Cramer.
Introduzione alla diagonalizzazione di matrici.
Definizione di matrice diagonalizzabile. Matrice diagonalizzante.
Definizione di autovalori e autovettori.
[Cap 3.9] [Cap 4.1,4.2] [EG 14]
23 ottobre 2019 Lezione 23 (Aula IV Castelnuovo)
Esempio di diagonalizzazione.
Polinomio caratteristico. Equazione caratteristica. Legame tra il concetto di
autovettori e autovalori e diagonalizzazione di una matrice. Criterio
sufficiente per la diagonalizzazione di una matrice. Autospazio relativo ad un
autovettore.
[Cap 4.2] [EG 15] (Esercizio)
24 ottobre 2019 Lezione 24 (Aula IV Castelnuovo)
Molteplicità algebrica e
geometrica di un autovalore. Condizione necessaria e sufficiente per la
diagonalizzabilità di una matrice. Esempi di matrici non diagonalizzabili.
Matrici simili e loro proprietà. Traccia di una matrice.
[Cap 4.2, 4.3] (Esercizio)
25 ottobre 2019 Lezione 25 (Aula IV Castelnuovo)
Teorema di Cayley-Hamilton
(C-H). Calcolo delle potenze di una matrice e dell’inversa di una matrice
usando il teorema di C-H. Definizione di vettori geometrici del piano come
classi di equipollenza di segmenti orientati del piano. Struttura di spazio
vettoriale su V2.
[Cap 4.3, 5.1, 5.2, 5.3] [EG 16]
28 ottobre 2019 Lezione 26 (Aula IV Castelnuovo)
Coordinate nel piano.
Rappresentazione cartesiana di vettori. Parallelismo di vettori. Prodotto
scalare e ortogonalità.
[Cap 5.4, 5.5, 5.6, 5.7] [EG 17]
29 ottobre 2019 Lezione 27 (Aula IV Castelnuovo)
Proiezione ortogonale di un
vettore su un altro. Coefficiente di Fourier. Scomposizione di un vettore in
due componenti tra loro ortogonali. Formula per il coseno dell’angolo tra due
vettori. Area del triangolo. Condizione di allineamento di tre punti. Equazione
cartesiana di una retta della forma ax+by+c=0. Significato dei coefficienti
a,b. Equazione in forma di rapporti uguali. Casi particolari dell’equazione di
una retta.
[Cap 5.7, 5.8, 5.9, 5.10,
5.11] [EG
18] (Esercizio)
30 ottobre 2019 Lezione 28 (Aula IV Castelnuovo)
Intersezione e parallelismo
tra due rette. Fasci di rette. Parametri direttori e coseni direttori. Perpendicolarità
di due rette.
[Cap 5.12, 5.13, 5.14, 5.15] [EG 19]
31 ottobre 2019 Lezione 29 (Aula IV Castelnuovo)
Angolo tra due rette. Rette
orientate. Significato geometrico dei coseni direttori. Distanza punto-retta.
Sistemi di riferimento equiversi e contraversi.
[Cap 5.16, 5.17] [EG 20] (Esercizio)
1 novembre 2019 Vacanza
4 novembre 2019 Lezione 30 (Aula IV Castelnuovo)
Equazioni per il cambiamento
di coordinate di vettore e di punto. Matrice ortogonale.
[Cap 5.17] [EG 21] (Esercizio)
5 novembre 2019 Lezione 31 (Aula IV Castelnuovo)
Luoghi geometrici. Asse di un
segmento. Circonferenza. Definizione di coniche come luogo dei punti
individuati da un fuoco F, una direttrice d e una eccentricità e. Esempi. [Cap 6.1,6.2] [EG 22]
(Esercizio8,
Esercizio9,
Esercizio10)
6 novembre 2019 Lezione 32 (Aula IV Castelnuovo)
Equazioni canoniche di
ellisse, iperbole, parabola. Calcolo dei fuochi e dell’eccentricità.
[Cap 6.3, 6.4, 6.5, 6.6] (Esercizio)
7 novembre 2019 Lezione 33 (Aula IV Castelnuovo)
Generalità sulle coniche.
Teorema di classificazione delle coniche. Coniche generali a centro.
[Cap.7.1, 7.2, 7.3,7.4] [EG 23]
8 novembre 2019 Lezione 34 (Aula IV Castelnuovo)
Riduzione a forma canonica di
coniche a centro.
[Cap 7.5] [EG 24]
(Esercizio)
N.B. Intersecando un cono
doppio con un piano si ottengono le varie forme delle sezioni coniche incluse
le forme degeneri. Per esempio, due rette incidenti si possono ottenere
intersecando il cono con un piano che passi per il vertice del cono, e il
vertice coincide con il punto di intersezione delle due rette. Nel caso di due
rette parallele il punto di intersezione si trova ora “all’infinito” per cui
esse si possono pensare come ottenute dall’intersezione di un piano con un cono
avente vertice all’infinito, cioè con un cilindro.
11 novembre 2019 Lezione 35 (Aula IV Castelnuovo)
Riduzione a forma canonica di
parabole. Metodo degli invarianti. Definizione di coordinate omogenee.
Coordinate omogenee del punto improprio di una retta.
[Cap 7.5, 7.6, 7.7] [EG 25]
(Esercizio13,
Esercizio14)
12 novembre 2019 Lezione 36 (Aula IV Castelnuovo)
Retta ampliata. Piano
ampliato. Equazioni omogenee di rette e coniche. Intersezioni delle coniche con
la retta impropria. Punti doppi e ricerca dei punti doppi. Determinazione del
centro di simmetria di una conica.
[Cap 7.7, 7.8]
13 novembre 2019 Lezione 37 (Aula IV Castelnuovo)
Esempi di curve di ordine
superiore. Coordinate polari. Equazioni parametriche. La cardioide. La
cicloide. Geometria analitica dello spazio. Definizione e formula per il
prodotto vettoriale.
[Cap 8, 9.1, 9.2] [EG 26]
14 novembre 2019 Lezione 38 (Aula IV Castelnuovo)
Area del parallelogramma. Prodotto
misto. Volume del parallelepipedo. Equazione cartesiana di un piano. Condizione
di parallelismo tra due piani. Condizione di perpendicolarità tra due piani.
Fasci e stelle di piani.
[Cap 9.3, 9.4, 9.5, 9.6] [EG 27]
15 novembre 2019 Lezione 39 (Aula IV Castelnuovo)
Equazioni parametriche e
cartesiane di una retta nello spazio. Formule per i parametri direttori.
Condizione di parallelismo e di perpendicolarità. Condizione di complanarità.
[Cap 9.7, 9.8, 9.9, 9.10] [EG 28]
18 novembre 2019 Lezione 40 (Aula IV Castelnuovo)
Mutue posizioni di rette
nello spazio. Angolo tra rette. Parallelismo
e perpendicolarità retta-piano. Angolo retta-piano. Angolo tra due
piani. Distanza tra due rette parallele.
[Cap 9.11, 9.12, 9.13, 9.14,
9.15, 9.16, 9.17, 9.18.4] (Esercizio)
19 novembre 2019 Lezione 41 (Aula IV Castelnuovo)
Distanze. Distanze tra due
rette sghembe. Metodo dei punti mobili. Sfera. Piano tangente ad una sfera.
Ellissoide in forma canonica. Paraboloide in forma canonica.
[Cap 9.18, 9.19, 9.20.1,
9.20.4] (Esercizio
16) (Esercizio
17-18) (Esercizio
19) [EG
29]
20 novembre 2019 Lezione 42 (Aula IV Castelnuovo)
Una panoramica delle
superfici quadriche in forma canonica. Sul concetto astratto di spazio
vettoriale. Nuovi esempi: polinomi, funzioni continue, funzioni derivabili.
[Cap 9.20, 10.1,10.2, 10.3] (Ellissoide) (Iperboloide
Ellittico) (Iperboloide
Iperbolico) (Paraboloide
iperbolico) [EG
30]
21 novembre 2019 Lezione 43 (Aula IV Castelnuovo)
Equazioni cartesiane di un
sottospazio di Rn.
Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente generato.
[Cap 10.3, 10.4] [EG 31]
22 novembre 2019 Lezione 44 (Aula IV Castelnuovo)
Caratterizzazione del
concetto di base. Lemma dello scambio di Steinitz. Due basi diverse di uno
stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Teorema di
completamento ad una base. Teorema di riduzione ad una base.
[Cap 10.4]
25 novembre 2019 Lezione 45 (Aula IV Castelnuovo)
Operazioni su sottospazi:
Intersezione e somma. Somma diretta. Formula di Grassmann (senza dim.)
[Cap 10.4] (Esercizio
20)
26 novembre 2019 Lezione 46 (Aula IV Castelnuovo)
Applicazioni lineari o
omomorfismi. Esempi. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare.
[Cap 11.1, 11.2, 11.3] (Esercizio
21)
27 novembre 2019 Lezione 47 (Aula IV Castelnuovo)
Calcolo del nucleo e
dell’immagine di una applicazione lineare. Condizione necessaria e sufficiente
per l’iniettività di un omomorfismo. Teorema delle dimensioni.
[Cap 11.3]
28 novembre 2019 Lezione 48 (Aula IV Castelnuovo)
Dimostrazione del Teorema
delle dimensioni. Corollario. Modello universale di spazio vettoriale.
Coordinate rispetto ad una base. Matrici associate ad applicazioni lineari.
[Cap 11.3, 11.4, 11.5] [EG 32]
ATTENZIONE: Rilevazione on-line delle
Opinioni Studenti (OPIS) per gli insegnamenti del primo semestre 2019-2020
CODICE OPIS per il corso di Geometria: B6WM6WS5
29 novembre 2019 Lezione 49 (Aula IV Castelnuovo)
Matrici associate ad applicazioni
lineari. Determinazione del nucleo (soluzione di un SLO) e dell’immagine
(spazio delle colonne). Matrici diverse di uno stesso endomorfismo sono matrici
simili.
[Cap 11.5, 11.6] [EG 33, 34]
29 novembre 2019 ore 12 Esercitazione (Aula IV Castelnuovo)
[EG 33, 34, 35, 36]
2 dicembre 2019 Lezione 50 (Aula IV Castelnuovo)
Cambiamenti di base. Matrici
e applicazioni invertibili. Endomorfismi e diagonalizzazione
[Cap 11.6, 11.7, 11.8] [EG 35, 36]
(Esercizio
22)
3 dicembre 2019 Lezione 51 (Aula IV Castelnuovo)
Spazi euclidei. Procedimento
di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un
sottospazio (o sviluppo di Fourier).
[Cap 12.1] [EG 37, 38]
4 dicembre 2019 Lezione 52 (Aula IV Castelnuovo)
Disuguaglianza di Schwarz.
Teorema di approssimazione. Diagonalizzazione ortogonale.
[Cap 12.1, 12.2 ]
5 dicembre 2019 Lezione 53 (Aula IV Castelnuovo)
Caratterizzazioni di matrici
ortogonali. Alcune proprietà importanti delle matrici simmetriche. Teorema
degli Assi Principali (dim. facoltativa).
[Cap 12.2 ] [EG 39, 40]
(Esercizio 23)
6 dicembre 2019 Lezione 53 (Aula IV Castelnuovo)
Ancora sulle matrici
simmetriche. Applicazione al metodo dei minimi quadrati.
[Cap 12.4 ] [EG 41] (Esercizio
24)
6 dicembre 2019 ore 12 Esercitazione (Aula IV
Castelnuovo)
9 dicembre 2019 Lezione 54 (Aula IV Castelnuovo)
Forme bilineari e forme
quadratiche. Forme e matrici simmetriche definite positive. Criterio per
riconoscere se una matrice simmetrica è definita positiva (senza dim.).
Prodotto scalare non standard su Rn.
[Cap 12.3, 12.7 ] [EG 42] (Simulazione
di esame)
10 dicembre 2019 Lezione 55 (Aula IV Castelnuovo)
Spazi euclidei in generale.
Prodotto scalare in Pn.
Polinomi interpolatori di Lagrange.
[Cap 12.6 ] [EG 43]
11 dicembre 2019 Lezione 56 (Aula IV Castelnuovo)
Altri Spazi euclidei in generale.
Prodotto scalare nello spazio delle matrici. Altri prodotti scalari sullo spazio dei polinomi.
[Cap 12.6 ] [EG 44] (Norme
Matriciali)
12 dicembre 2019 Lezione 57 (Aula IV Castelnuovo)
Elementi di geometria
differenziale delle curve. Curve parametriche. Curve semplici. Archi di curva
regolari. Rette secanti e rette
tangenti. Qualche esempio.
[Cap 13.1, 13.2, 13.3, 13.5] [EG 45]
13 dicembre 2019 Lezione 58 (Aula IV Castelnuovo)
Lezione annullata. Le lezioni sono state
sospese in tutto l’ateneo per maltempo, su ordinanza del sindaco.
16 dicembre 2019 Lezione 58 (Aula IV Castelnuovo)
Lunghezza di un arco di curva
regolare. Ascissa curvilinea. Vettore tangente e vettore normale. Definizione
di piano osculatore. Equazione del piano osculatore ad una curva.
[Cap 13.4, 13.9] (Esercizio
25)
17 dicembre 2019 Lezione 59 (Aula IV Castelnuovo)
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
18 dicembre 2019 Lezione 60 (Aula IV Castelnuovo)
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
19 dicembre 2019 Esercitazione (Aula IV Castelnuovo)
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
20 dicembre 2019 Esercitazione (Aula IV Castelnuovo)
Ripasso ed esercitazioni di
preparazione all’esame.
Foto
ricordo ed auguri. (Prego lo studente che ha scattato
la foto con il suo cellulare di inviarmi la foto appena possibile. Grazie.)
(Foto
del 20 dicembre 2019)(in attesa di foto di maggiore qualità)
Risultati
della prova scritta del 15 gennaio 2020
Risultati
della prova scritta dell'8 febbraio 2020
Calendario
delle prove orali febbraio 2020
A partire dalla settimana che inizia il 14 ottobre e
con termine 18 dicembre si è tenuto il
“tutorato difffuso” rivolto a tutti gli studenti di Geometria di tutti i
corsi di laurea di Ingegneria.
Orari:
lunedì 14-16 e 16-18 in aula Bandinelli
mercoledì 15-17 e 17-19 in aula è la IV dell’edificio
CU003 (lettere)(v. mappa).
L’ultimo giorno del tutorato di Geometria,
mercoledì 18 dicembre, il tutorato si è tenuto in aula VIII dell’edificio CU002
(giurisprudenza)
Le lezioni si sono svolte nell’aula IV del Castelnuovo
per tutto il semestre dopo la prima settimana alla Bandinelli.
Per gli studenti di Ing. Com.: informazioni di massima
riguardanti il tutorato innovativo:
https://sites.google.com/a/uni
Bibliografia
Libro di testo (teoria):
S.
Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova edizione (copertina blu), (Esculapio,
2015)
Novità: [EG] S.
Capparelli, Esercitazioni di Geometria,(Copertina
Verde) (Esculapio, 2019)
ERRATA
CORRIGE del testo (grazie delle segnalazioni, continuate a segnalare)
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