Programma del Corso di Geometria
Prof. S. Capparelli
Vecchio Ordinamento
Facoltà di Ingegneria
Università La Sapienza

Elementi di teoria dei vettori ordinari. Segmenti equipollenti. Vettore. Vettori paralleli e vettori complanari. Somma di un punto e di un vettore. Rappresentazione di un vettore come differenza di due punti. Somma di vettori. Prodotto di un vettore per un numero reale. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti.

Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale reale. Sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Basi e coordinate di un vettore di uno spazio vettoriale. Dimensione. Sottospazi intersezione e somma.

Matrici. Determinanti. Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici. Prodotto di matrici. Rango di una matrice. Condizione per la indipendenza lineare dei vettori. Metodo di riduzione di Gauss. Applicazioni. Permutazioni. Determinante di una matrice quadrata. Alcune proprietà dei determinanti. Sottomatrici e minori di una matrice. Teoremi di Laplace. Minori e rango di una matrice. Matrice aggiunta e matrice inversa di una matrice quadrata. Cambiamento di base in uno spazio vettoriale.

Sistemi di equazioni lineari. Generalità. Compatibilità di un sistema di equazioni lineari. Soluzioni di un sistema normale. Teorema di Cramer. Soluzioni di un sistema non normale compatibile. Sistemi omogenei. Metodo di eliminazione di Gauss per i sistemi lineari.
Applicazioni lineari. Applicazioni tra insiemi. Definizione di applicazione lineare o omomorfismo tra spazi vettoriali. Immagine e nucleo. Matrice associata ad una applicazione lineare. Rango e nullità di una applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive, suriettive. Isomorfismi. Endomorfismi e matrici associate. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Ricerca di autovalori ed autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili.

Questioni metriche sui vettori ordinari. Componente ortogonale di un vettore secondo una retta orientata. Prodotto scalare di due vettori. Prodotto scalare di due vettori e lunghezza di un vettore in funzione delle componenti. Prodotto vettoriale di due vettori. Prodotto misto di tre vettori.

Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare euclideo. Spazi vettoriali euclidei. Matrici associate ad un prodotto scalare euclideo. Modulo di un vettore. Disuguaglianza di Schwarz e triangolare. Ortogonalità. Complemento ortogonale. Basi ortonormali. Metodo di Gram-Schmidt. Endomorfismi simmetrici. Diagonalizzazione.

Primi elementi di geometria del piano. Riferimento cartesiano affine nel piano. Coordinate cartesiane nel piano. Coordinate di un vettore in funzione delle coordinate degli estremi di un suo rappresentante. Equazione vettoriale della retta. Condizione di allineamento di tre punti. Equazione cartesiana della retta. Sulla totalità delle rette del piano. Forme particolari dell'equazione di una retta. Intersezione e parallelismo di due rette. Fascio di rette. Retta generica per un punto dato. Condizione perché tre rette appartengano ad un fascio.

Primi elementi di geometria dello spazio. Riferimento cartesiano affine nello spazio. Coordinate cartesiane nello spazio. Coordinate di un vettore in funzione delle coordinate degli estremi di un suo rappresentante. Equazione vettoriale di un piano. Condizione di complanarità di quattro punti. Equazione cartesiana di un piano. Forme particolari dell'equazione di un piano. Condizioni di parallelismo di due piani Fascio di piani. Condizione perché tre piani appartengano ad un fascio. Equazione vettoriale di una retta nello spazio. Condizioni di allineamento di tre punti. Retta per due punti dati. Equazioni cartesiane di una retta. Equazioni ridotte di una retta. Condizione di parallelismo di due rette. Intersezione e parallelismo di retta e piano. Piano per un punto parallelo a due rette. Complanarità di due rette.

Nozioni metriche del piano. Riferimento cartesiano ortogonale. Distanza di due punti. Coseni direttori di una retta orientata. Relazioni tra i coseni direttori e i parametri direttori di una retta. Significato geometrico del coefficiente angolare di una retta. Perpendicolarità di due rette. Angolo di due rette. Significato geometrico dei coefficienti dell'equazione di una retta. Distanza di un punto da una retta. Area di un triangolo. Cambiamento di riferimento cartesiano ortogonale.
Nozioni metriche nello spazio. Riferimento cartesiano ortogonale. Distanza di due punti. Coseni direttori di una retta orientata. Perpendicolarità di due rette. Angolo di due rette. Significato geometrico dei coefficienti dell'equazione di un piano. Piano e retta perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Perpendicolarità di due piani. Angolo di due piani. Angolo tra retta e piano. Distanza di un punto da una retta. Distanza di due rette sghembe. Cambiamento di riferimento cartesiano ortogonale.

Curve e luoghi geometrici del piano. Rappresentazione analitica di una curva. Tangente ad una curva piana in un suo punto. Alcune proprietà di una curva dedotte dalla sua equazione cartesiana. Circonferenza. Ellisse. Iperbole. Parabola. Classificazione delle coniche nel piano euclideo.

Superfici e curve nello spazio. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche di una superficie. Rappresentazione analitica delle curve nello spazio. Curve sghembe. Tangente ad una curva sghemba in un suo punto. Piano tangente ad una superficie in un suo punto. Equazione cartesiana della sfera. Equazioni parametriche della sfera. Piano tangente ad una sfera in un punto. Intersezione di una sfera con un piano. Equazioni di una circonferenza nello spazio. Coni. Cilindri. Proiezioni ortogonali di una curva sghemba sui piani coordinati. Superfici di rotazione.

Le quadriche. Ellissoide, Iperboloidi, Paraboloidi (solo i paragrafi 12, 13, 14, 15, 16 del capitolo 18).

Tutti i riferimenti sono al libro di testo:  G. Vaccaro, A. Carfagna, L. Piccolella:  Lezioni di geometria e algebra lineare, Masson, 1995.

Fanno parte del corso anche gli esercizi e complementi contenuti nel libro di esercizi : Complementi ed esercizi di geometria e algebra lineare degli stessi autori e dello stesso editore. In dettaglio: Tutti i primi 11 capitoli. Nel capitolo 12 vanno esclusi i paragrafi 6,7,8,9. Capitoli 13,14,15 esclusi. Nel capitolo 16 vanno esclusi i paragrafi 4 e 5.