% Problema:
% Studiare al variare del parametro $k\in\mathbf{R}$ il seguente sistema lineare nelle cinque variabili $X_1,\cdots, X_5$:
% $$
% \left\{
% \begin{array}{ccccccc}
% X_1&&-2X_3&+X_4&&=&1\\&&&&&&\\
% kX_1&+X_2&+(1-2k)X_3&+kX_4&+X_5&=&1\\&&&&&&\\
% X_1&+kX_2&+(k-2)X_3&+(k^2-k+1)X_4&+(2k)X_5&=&k
% \end{array}
% \right.
% $$
%
% Soluzione:

X=sym('x', [1 5]);
Y=sym('x',[1,5]);
syms k ;

% La matrice dei coefficienti del sistema è

A=[1 0 -2 1 0; 
   k 1 (1-2*k) k 1; 
   1 k (k-2) k^2-k+1 2*k]

%
% Se k(k-1) è diverso da zero (ovvero se k è diverso sia da zero che da uno) allora A=LU dove

[L U]=lu(A)

%
%
%
%
% Considerando la matrice dei termini noti

b=[1;1;k]

% Il sistema LY=b ha come unica soluzione

Y=linsolve(L,b)

% Il sistema UX=Y ha come soluzione particolare

X0=linsolve(U,Y)

% ed il sistema omogeneo associato UX=0 ha come soluzioni base

Z=null(A); 
X1=Z(:,1)

%
%
%
%

X2=Z(:,2)

% Le soluzioni del sistema AX=b sono quindi

X0+X(3)*X1+X(5)*X2

% al variare di $x_3, x_5\in\mathbf{R}$.
%
% Se k=0 la matrice U, la matrice L e la matrice dei termini noti b sono rispettivamente

k=0; 
A=[1 0 -2 1 0; 
   k 1 (1-2*k) k 1; 
   1 k (k-2) k^2-k+1 2*k];
[L U]=lu(A)
b=[1;1;k]

% Il sistema LY=b ha come unica soluzione

Y=linsolve(L,b)

% ed il sistema UX=Y è quindi incompatibile, poichè l'ultima riga di U è zero mentre l'ultima riga di Y è non-zero.
%
% Se k=1 la matrice U, la matrice L e la matrice dei termini noti b sono rispettivamente

k=1; 
A=[1 0 -2 1 0; 
   k 1 (1-2*k) k 1; 
   1 k (k-2) k^2-k+1 2*k]
[L U]=lu(A)
b=[1;1;k]

% Il sistema LY=b ammette l'unica soluzione

Y=linsolve(L,b)

% ed il sistema UX=Y ha la seguente soluzione particolare:

X0=sym(linsolve(U,Y))

% le soluzioni base del sistema omogeneo associato sono

Z=null(U,'r');
X1=Z(:,1)
X2=Z(:,2)

% e le soluzioni del sistema UX=Y e quindi del sistema AX=b sono
%
%

X0+X(3)*X1+X(4)*X2

% al variare di $x_2, x_4\in\mathbf{R}$.
% Qualcuno potrebbe aver trovato la soluzione particolare

X0=[1 0 0 0 0]'

% e quindi aver trovato come soluzioni le matrici

X0+X(3)*X1+X(4)*X2

% Si noti che i due insiemi di soluzioni trovate sono uguali (dimostrarlo!).