% Esercizio 1
% Affinchè la matrice A sia nilpotente è necessario che non sia invertibile ovvero che det(A)=ac=0, quindi a=0 oppure c=0. Se A=0 è la matrice nulla, allora è nilpotente. Per cui assumiamo che non lo sia.

syms a b c
A=[a b; 0 c]

% Supponiamo c=0

A=[a b; 0 0]

% Allora $A^2$ è

A^2

% uguale ad aA

A^2==a*A

% ne segue che $A^n=a^{n-1}A$per ogni n\ge \text{ }1\text{ }. Poichè A\ne 0affinchè A sia nilpotente è necessario che esista un n tale che a^n =0ovvero a=0. Per cui se c=0 anche a deve essere zero.
% Supponiamo che a=0. Allora

A=[0 b; 0 c]

% e quindi

A^2

% ovvero A^2 =\mathrm{cA}. Ne segue che A^n =c^{n-1\text{ }} A per cui affinchè A sia nilpotente è necessasrio che c^n =0 ovvero che c=0. Concludiamo che se a=0 allora c=0. In conclusione la matrice A è nilpotente se e solo se a=c=0. In questo caso, se b\ne 0A è 2-nilpotente, e se b=0 A=0.
%
% Se A=0, e^A =1. Se A\ne 0,\text{ } e^A =1+A ovvero

A=[0 b; 0 0]
expm(A)

%
% Consideriamo adesso la matrice B

syms x y z
B=[x y; 1 z]

% affinchè B sia nilpotente è necessario che det(B)=xz-y=0 ovvero che y=xz. Per cui B deve essere della forma

B=[x x*z; 1 z]

% calcoliamo il quadrato di B

B^2

% e notiamo che B^2 =\left(x+z\right)B. Ne segue che B^n ={\left(x+z\right)}^{n-1} B. Quindi B è nilpotente se e solo se x+z=0 ovvero se e solo se B è della forma

B=[x -x^2; 1 -x]

% in tal caso notiamo che B è 2-nilpotente.

B^2

% La matrice esponenziale e^B è 1+B

expm(B)

%
% Esercizio 2
%
% Si ha {\left(A+B\right)}^2 =A^2 +\mathrm{AB}+\mathrm{BA}+B^2 =2\text{ }\mathrm{AB}per cui A+B è 2-nilpotente se e solo se AB=0.
%
% Esercizio 3
% Consideriamo la matrice

B=[0 1 0; 0 0 1; 0 0 0]

% essa è 3-nilpotente

B^2
B^3

% per cui e^B =1+B+{\frac{1}{2}B}^2ovvero

sym(expm(B))

% Consideriamo la matrice

B=[0 1 0; 1 0 1; 0 0 0]

% si ha:

B^2
B^3==B

% ne segue che B non è nilpotente; abbiamo definito l'esponenziale solo di matrici nilpotenti (per quanto non sarebbe difficile definirla in tutti i casi) per cui e^B non è definita.
%
% Esercizio 6

s=[1 2 3 4];
t=[2 3 4 1];
G=digraph(s,t,4);
plot(G)
A=full(adjacency(G))
A^2
A^3
A^4

%
% Esercizio 7

s=[1 1 2 2 3 4 4 5]
t=[1 2 3 4 3 1 5 2]
G=digraph(s,t,5)
plot(G)
A=full(adjacency(G))
A^5

%
%
% Esercizio 8

A=[1 0 0 0;
   0 1 1 -1;
   1 1 -1 1;
   0 2 0 -1]

% l'inversa è

sym(A^-1)

%
% Esercizio 9

syms h
A=[h 1 0;
    1 h h;
    0 1 2]

% se h^2 -2\ne 0A è invertibile e l'inversa è

A^-1

% se h=\sqrt{\text{ }}2 allora

h=sym(sqrt(2))
A=sym([h 1 0;
   1 h h;
    0 1 2])
A^-1

% A non è invertibile. Se h=-\sqrt{2} allora

h=-sym(sqrt(2))
A=sym([h 1 0;
   1 h h;
    0 1 2])
A^-1

% A non è invertibile.
%
% Esercizio 10

A=[1 3 2 0 ;
   2 5 4 1 ;
   1 5 4 -1; 
   3 10 8 1]

%

inv(sym(A))

%
% Esercizio 11

A=[1 1 -1 1; 
   2 1 -1 2; 
   1 0 1 1;
   1 -1 2 -1]
B=inv(sym(A))
syms b1 b2 b3 b4
b=[b1; b2; b3; b4]
B*b

% in particolare per b=(0,1,2,3) la soluzione è

b=[0,1,2,3]'
B*b

%
% Esercizio 12
%

A=[1 2; 2 3]
A^2-4*A-eye(2)

% per cui A^2 -4A-1_2 =0da cui si ottiene A\left(A-4\text{ }1_2 \right)=1_2 per cui A è invertibile ed ha inversa A^{-1} =A-4\text{ }1_2. Verifichiamo

A-4*eye(2)
A^-1

%
%