CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 PROGRAMMA DEFINITIVO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2

A.A. 2024-2025

LORENZO GIACOMELLI E ANDREA DALL'AGLIO


Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dall'Aglio, Giacomelli - Epsilon 2 - McGraw-Hill, 2024.

Il programma non viene svolto nell'ordine in cui è stilato. Per informazioni sull'ordine si veda il calendario indicativo delle lezioni.


FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI A VALORI REALI

R^N; punti e vettori (applicati) in R^N; rappresentazioni; operazioni [1.1]. Modulo e distanza (euclidea) [1.1.1]. Coordinate polari [1.1.6]. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello [1.2]. Simmetria di rotazione rispetto a un asse; simmetrie pari o dispari rispetto a un asse (in R^2) [1.2.1]. Intorni sferici; punti di accumulazione; (R^N)^*; intorni di infinito [1.1.2]. Definizione di limite; proprietà elementari del limite[1.3]. Continuità; proprietà elementari delle funzioni continue [1.5]. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati; caratterizzazione degli insiemi chiusi [1.1.2]. Insiemi compatti [1.1.5]. Teorema di Weierstrass [1.5]. Insiemi connessi (per archi) [1.1.5]. Teorema degli zeri e dei valori intermedi [1.5]. Derivate direzionali; derivate parziali; funzioni derivabili; proprietà elementari delle derivate parziali; le funzioni derivabili non sono continue se N>1;  gradiente [1.6]. Funzioni differenziabili; proprietà elementari delle funzioni differenziabili;  continuità, derivabilità e derivate direzionali delle funzioni differenziabili; piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R; il teorema del differenziale totale; il gradiente individua la direzione di massima crescita; regola della catena per funzioni composte con curve [1.7]. Integrali dipendenti da parametri: scambio tra limite e integrale, scambio tra derivata e integrale [1.8].  Punti critici (stazionari); teorema di Fermat; candidati a punti di estremo locale di una funzione; centro di massa, momento di inerzia rispetto a un asse nel piano; il centro di massa come asse di minima inerzia nel piano [1.9]. Derivate direzionali e parziali di secondo ordine; teorema di Schwarz; matrice Hessiana [1.10]. Formula per le derivate parziali seconde di funzioni due volte differenziabili [1.10]. Il Teorema di Peano al secondo ordine [1.11]. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori; caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^n e in R^2 [1.12]. Natura dei punti critici [1.13].  Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione) [1.13]. Determinazione degli estremi assoluti di funzioni continue su insiemi compatti di R^2: esempi [3.3.1].   Insiemi convessi; funzioni convesse; criterio differenziale di convessità [1.14]. Funzioni di più variabili a valori vettoriali: differenziabilità, differenziale. regola della catena [2.6].

FUNZIONI IMPLICITE ED ESTREMI VINCOLATI

Punto regolare di un insieme di livello; il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2 (enunciato qualitativo); il gradiente è ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare; retta tangente a un insieme di livello in un suo punto regolare [3.1]. Estremi vincolati in R^2; metodo di sostituzione (la lattina ottimale). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange; metodo dei moltiplicatori [3.2]. Determinazione degli estremi locali e assoluti vincolati in R^2: esempi [3.2]. Determinazione degli estremi assoluti di funzioni continue su insiemi compatti di R^2: esempi [3.3.1].
Il teorema di Dini in R^3 con un vincolo (enunciato qualitativo); il gradiente è ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare; il teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^3 con un vincolo; il teorema di Dini in R^3 con due vincoli (enunciato qualitativo); il teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^3 con due vincoli; estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due vincoli [3.4-3.7].

INTEGRALI MULTIPLI

Integrali doppi su rettangoli; proprietà elementari; teorema della media integrale; le funzioni continue sono integrabili; formule di riduzione sui rettangoli [4.1]. Integrali doppi su insiemi qualunque; insiemi misurabili del piano; insiemi non misurabili; classi di insiemi misurabili [4.2]. Proprietà dell'integrale, teorema della media integrale, classi di funzioni integrabili [4.2]. Domini normali in R^2; area di un dominio normale; formule di riduzione sui domini normali; utilizzo delle simmetrie nel calcolo di integrali doppi [4.3]. Domini scomponibili in domini normali [4.3]. Centro d'area di un insieme nel piano; densità per unità di area; massa e centro di massa di una lamina (non) omogenea; centro d'area di insiemi simmetrici rispetto a una retta; baricentro di baricentri [4.4].  Cambiamento di variabili negli integrali doppi; matrice jacobiana, determinante jacobiano, interpretazione geometrica [4.7]. Coordinate polari [4.6]. Coordinate ellittiche e altri cambi di coordinate [4.7.1].
Integrali tripli; proprietà; teorema della media integrale; volume, baricentro e centro di massa, baricentro di baricentri; integrazione per fili; integrazione per strati [4.9]. Solidi di rotazione; integrali su solidi di rotazione; volume di solidi di rotazione [4.9]. Cambiamenti di variabile negli integrali tripli; oordinate cilindriche, coordinate sferiche, coordinate ellissoidali [4.10].

CURVE E INTEGRALI DI FUNZIONI SU CURVE (I SPECIE)

Curva (legge oraria); rappresentazione di una curva; sostegno (traiettoria) [1.1.4]. Orientazione di una curva; curva piana; curva semplice; curva chiusa; curva cartesiana; curva polare [2.1]. Curva derivabile, vettore velocità e sua rappresentazione, velocità scalare; curva regolare, vettore e versore tangente a una curva regolare, retta tangente al sostegno di una curva regolare [2.2]. Le curve cartesiane sono regolari; teorema fondamentale del calcolo integrale per curve; vettore accelerazione, accelerazione scalare [2.2]. 

Regole della catena per funzioni composte con curve.

Curva rettificabile, lunghezza di una curva, formula integrale per il calcolo della lunghezza; lunghezza di curve cartesiane e curve polari; ascissa curvilinea o parametro d'arco [2.3.1].   Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie), proprietà elementari; densità lineare e massa di un filo [2.3.2].

CAMPI VETTORIALI, FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRAZIONE SU CURVE (II SPECIE)

Campi vettoriali: proprietà di base, rappresentazione grafica, forme differenziali [2.4].  Integrale di un campo vettoriale lungo una curva (o integrale curvilineo di II specie); lavoro di un campo vettoriale lungo una curva; proprietà di base [2.4.1]. Il lavoro cambia segno insieme al verso della curva; prima relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie [2.4.1]. Campi vettoriali conservativi (forme differenziali esatte); l'integrale curvilineo di un campo conservativo dipende solo dagli estremi del cammino; caratterizzazione dei campi conservativi; determinazione della funzione potenziale e calcolo del lavoro di un campo vettoriale conservativo [2.5.1].  Il campo magnetico generato da un filo elettrico rettilineo infinito [2.5]. Campi vettoriali centrali; i campi vettoriali centrali sono conservativi, funzione potenziale di un campo centrale [2.5.1]. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3; campi vettoriali irrotazionali (forme differenziali chiuse); i campi vettoriali conservativi di classe C^1 sono irrotazionali, ma il viceversa è falso; il rotore di un gradiente è nullo [2.5.2]. Curve omotope a un punto; insieme semplicemente connesso; i campi irrotazionali su insiemi semplicemente connessi sono conservativi; campi conservativi, irrotazionali, primitive e calcolo del lavoro di un campo vettoriale: esempi di riepilogo [2.5.3]. Divergenza di un campo vettoriale; campi centrali a divergenza nulla; operatore di Laplace [6.2] Relazioni tra operatori differenziali (gradiente, divergenza, rotore) [vari paragrafi].

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici parametriche regolari; regola della catena per parametrizzazioni composte con curve;  identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare; superfici di rotazione [5.1.1]. Area di una superficie [5.2.1].  Area di superfici di rotazione  [5.2.1]. Integrali di funzioni su superfici; centro di massa, centro d'area e baricentro di una lamina [5.2.2]. Superfici elementari; punti interni e bordo; punti regolari interni e piano tangente [5.3]. Superfici orientabiliì; il nastro di Moebius; orientazione del bordo di superfici orientabili [5.3]. Superfici regolari a tratti [5.4].

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

Orientazione positiva della frontiera di domini normali; Formule di Green nel piano su domini normali rispetto a entrambi gli assi; domini di Green; orientazione positiva della frontiera di domini di Green;  Formule di Green su domini di Green (dimostrazione per un prototipo); area di un dominio di Green [6.1].  Versore normale esterno e versore tangente positivo sulla frontiera di un dominio di Green; seconda relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie [6.3.1]. Flusso di un campo vettoriale piano uscente da un dominio di Green [6.3.2].  Teorema della divergenza in R^2 [6.3.3]. Formula di integrazione per parti in R^2 [6.3.4]. Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva semplice e chiusa. Circuitazione e lavoro lungo una curva semplice e chiusa [6.3.2]. Teorema del rotore in R^2 [6.3.3].
Dominio di Green in R^3 [6.4.1]. Normale esterna a un dominio di Green [5.3.4]. Flusso di campo vettoriale uscente da un dominio di Green; flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientabile [6.4.2]. Teorema della divergenza in R^3 (dim. per domini normali rispetto a tutti i piani coordinati) [6.4.3]. Formule di integrazione per parti in R^3 [6.4.3]. La divergenza come densità di flusso uscente per unità di volume; caratterizzazione dei campi a divergenza nulla [6.6]. Equazione di continuità (bilancio di massa) per fluidi comprimibili [6.7]. Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa [6.5.1] Teorema del rotore in R^3 [6.5.2]. Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area [6.6].

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO)

EDO. Classificazione delle EDO: forma implicita ed esplicita, ordine, linearità. Definizione di soluzione ed integrale generale di una EDO. EDO lineari del primo ordine. Problema di Cauchy. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: le combinazioni lineari di soluzioni sono soluzioni, soluzioni linearmente indipendenti, integrale generale, metodo di variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di Cauchy.  EDO lineari di ordine superiore al secondo a coefficienti costanti, integrale generale, metodo di somiglianza. EDO del primo ordine a variabili separabili. Problema di Cauchy, metodo di risoluzione generale. Teorema di esistenza, unicità ed intervallo massimale per il problema di Cauchy. EDO del primo ordine a variabili separabili: controesempi all’unicità per il problema di Cauchy. Metodi risolutivi: Bernoulli, riduzione dell'ordine. Cambiamenti di variabile: EDO lineari del secondo ordine di tipo Eulero, EDO del secondo ordine autonome, altri cambiamenti di variabile. EDO con valori al contorno.

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici; serie di Fourier; convergenza della serie di Fourier; determinazione dei coefficienti di Fourier;  relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie; serie di Fourier di funzioni L-periodiche; determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier [8.1].




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ESPUNTO dal programma di quest'anno:
Applicazione delle serie di Fourier: esistenza della soluzione del problema della corda vibrante.