Programma di Analisi Matematica I per i corsi di Ing.Civile e Ing. dei Trasporti

Anno Accademico 2004/2005

Prof.ssa Maria Rosaria Lancia

Cap.1 Elementi di teoria degli insiemi.Richiami di matematica elementare. Alcuni simboli di logica matematica. Primi elementi di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano.
 
Cap. 2 Insiemi di numeri reali. Generalità ed esempi. Estremo inferiore ed estremo superiore. Punti di accumulazione; insiemi chiusi. Il numero e; logaritmi naturali.

Cap.3 Funzioni di una variabile. Il concetto di funzione. Rappresentazione geometrica: grafico. Le funzioni elementari. Alcune nozioni generali sulle funzioni. Funzioni composte ed inverse. Funzioni circolari inverse. Le successioni.

Cap. 4 Limiti di successioni.  Successioni convergenti o divergenti; definizione di limite. Primi teoremi sui limiti; sottosuccessioni e disuguaglianze. Teorema di unicita’ del limite(con dimostrazione). Limiti di successioni monotone; il numero e. Operazioni sui limiti: forme indeterminate. Alcuni limiti fondamentali. Confronto tra infinitesimi o tra infiniti.

Cap. 5 Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Il criterio generale di convergenza. Proprietà ed operazioni.
 Serie a termine di segni costante; regolarità incondizionata. Serie assolutamente convergenti; prodotto di due serie.  Criteri di convergenza assoluta.  Criteri  di convergenza non assoluta. Criterio di asintoticita’

Cap. 6 Limiti di funzioni di una variabile. Limiti all’ infinito. Limiti in un punto. Limiti di funzione come limiti di successioni: osservazioni. Teoremi sui limiti delle funzioni.Calcolo di limiti fondamentali. Confronto tra infinitesimi o tra infiniti.  Relazioni asintotiche.

Cap. 7 Funzioni continue di una variabile. Definizione e prime proprietà. Esempi di funzioni continue. Punti singolari di una finzione; continuità a sinistra o a destra. Operazioni sulle funzioni continue. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Funzioni inverse.

Cap. 8 Nozioni sul calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizioni di derivata. Applicazioni sul concetto di derivata.
 Definizione e proprietà del differenziale. Le operazioni elementari. Derivazione della funzione inversa. Derivazione di una funzione composta. Tabella delle derivate fondamentali. Derivate successive. Differenziali.  Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange.  Conseguenza del teorema di Lagrange; crescenza in grande.
 Forme indeterminate: teorema di de L’ Hôpital. Asintoti. Ricerca del minimo e del massimo assoluti di una funzione.
Funzioni concave e convesse in un punto; flessi. Concavità e convessità in grande.Criteri per lo studio locale di una funzione.
 Studio del grafico di una funzione.

Cap. 9 Nozioni di calcolo integrale per le funzioni di una variabile. Funzioni primitive. Integrale di una funzione continua esteso ad un intervallo. Significato geometrico dell’ integrale. Proprietà dell’ integrale. Integrali definiti. Esistenza delle primitive di una funzione continua.. Integrali indefiniti. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Osservazione sui precedenti metodi di integrazione indefinita. Regole per il calcolo degli integrali definiti. Alcune applicazioni.

Cap. 10 Numeri complessi. Introduzione. Definizioni. Conseguenze delle definizioni precedenti. Operazioni inverse; numeri coniugati. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre Radici dei numeri complessi.
 L’ esponenziale nel campo complesso.

Cap. 11 Integrali impropri.

Testi consigliati: P.Marcellini- C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno. Ed.Liguori
 L.Cosimi-M.R.Lancia, Matematica uno . Parte I e II. Ed. Esculapio.
A. Ghizzetti -  F.Rosati, Analisi Matematica. Vol  1. Ed. Masson.