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\def\eps{\varepsilon }
\def\gam{\gamma }
\def\lam{\lambda }
\def\gam{\gamma }
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\newtheorem{theorem}{\rm\bf Teorema}[section]
\newtheorem{corollary}{\rm\bf Corollario}
\newtheorem{exercize}[theorem]{\rm\bf Esercizio}
\newtheorem{lemma}[theorem]{\rm\bf Lemma}
\newtheorem{proposition}{\rm\bf Proposizione}
\newtheorem{definition}[theorem]{\rm\bf Definizione}
\newtheorem{remark}{\rm\bf Esempio}
\newtheorem{example}[theorem]{\rm\bf Esempio}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\section{Introduzione }
SCRIVERE INTRODUZIONE
\section{ INSERIRE NOME SEZIONE}
\begin{theorem}\label{Fritzjohn}
Sia $I$ un sottoinsieme di $\RR^N$, $f:I\to \RR$, $g:I\to \RR^M$, $h:I\to \RR^P$, funzioni $C^1(I)$ e  $x_0\in I$.
Se esiste un intorno aperto $U$ di $x_0$ in $\RR^N$ tale che 
\[f(x_0)\le f(x)\quad\qquad \forall x\in U\cap \{x\in I:\, g(x)\le 0,\, h(x)=0\}\]
allora esistono $\lambda_0$, $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_M)$ e $\mu=(\mu_1, \dots,\mu_P)$ tali che \\[5pt]
\emph{i)}
\begin{equation}\label{fj}
\begin{cases}
\lambda_0 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)+  \sum_{j=1}^M \lambda_j \frac{\partial g_j}{\partial x_i}(x_0)
+\sum_{j=1}^P \mu_j \frac{\partial h_j}{\partial x_i}(x_0)=0,\, i=1,\dots,N\\[5pt]
\lambda_i g_i(x_0)=0,\, i=1,\dots,M,\, (\lambda_0,\lambda)\ge 0,\, (\lambda_0,\lambda,\mu)\neq 0\\
g(x_0)\le 0,\, h(x_0)=0
\end{cases}
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Dalla Definizione di minimo  vincolato e dalla continuità\`a di $f$, $g$ e $h$ possiamo considerare
$\delta >0$ tale che per ogni  $x\in B(x_0,\delta)\cap \{x\in I:\, g(x)\le 0,\, h(x)=0\}$
\begin{align*}
    &f(x_0)\le f(x)\\
    &g_i(x)<0\qquad \text{se $g_i(x_0)<0$}
\end{align*}
Introduzione il funzionale penalizzato
\[\F_k(x)=f(x)+\frac{1}{2}\|x-x_0\|^2+\frac{k}{2}\left(\sum_{i_1}^Mg^+_i(x)^2+\sum_{i_1}^Ph_i(x)^2\right)\]
dove  $g_i(x)^+=\max\{g_i(x),0\}$ il cui quadrato è una funzione $C^1$ con gradiente $2g_i^+(x)Dg_i(x)$.
Consideriamo il problema di ottimizzazione
\begin{equation}\label{FJ1}
    \min_{x\in B(x_0,\delta)} \F_k(x)
\end{equation}
Dal teorema di  Weierstrass, esiste  $x_k$ punto di minimo  per $\F_k$ in $\overline {B(x_0,\delta)}$.
In particolare abbiamo
\begin{equation}\label{FJ2}
   \F_k(x_k)\le \F_k(x_0)= f(x_0)
\end{equation}
(poiché $g_i(x_0)\le 0$ e $h_i(x_0)=0$). 
Inoltre, per il teorema di Bolzano-Weierstrass (ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente), la successione $\{x_k\}_{k\in\N}$ ammette una sottosuccessione che
denotiamo ancora con $\{x_k\}$ convergente a $x^*\in\overline {B(x_0,\delta)}$.
Dalla \eqref{FJ2}
\[\sum_{i=1}^Mg^+_i(x_k)^2+\sum_{i=1}^P h_i(x_k)^2\le \frac{2}{k}\left(f(x_0)-f(x_k)-\frac{1}{2}\|x_k-x_0\|^2\right)\]
e per la continuità di  $g_i$, $h_i$ abbiamo  per $k\to \infty$
\[\sum_{i=1}^Mg^+_i(x^*)^2+\sum_{i=1}^P h_i(x^*)^2\le0\]
e quindi  poichè
$$g_i(x)^=\begin{cases} &g_i(x)       \qquad g_i(x) > 0 \\
&0  \qquad\quad\,\,\, g_i(x) \leq  0
\end{cases}$$
\begin{equation}\label{FJ3}
\text{$g_i(x^*)\le 0$, $i=1,\dots, M$, e $h_i(x^*)=0$, $i=1,\dots,P$.}
\end{equation}
In più dalla \eqref{FJ2}, abbiamo
\[f(x_k)  +\frac{1}{2}\|x_k-x_0\|^2\le \F_k(x_k)\le f(x_0)\]
e passando al limite per $k\to \infty$ abbiamo
\begin{equation}\label{FJ4}
f(x^*)+\frac{1}{2}\|x^*-x_0\|^2\le f(x_0).
\end{equation}
Dalla  \eqref{FJ3}, $x^*\in \{x\in I:\, g(x)\le 0,\, h(x)=0\}$  e quindi  $f(x^*)\ge f(x_0)$. Allora  \eqref{FJ4} 
concludiamo che $$\|x^*-x_0\|^2=0$$  e quindi $$x^*=x_0.$$ Poiché $x_k\to x_0$, possiamo concludere che per $k$ sufficientemente grande $x_k\in B(x_0,\delta)$ e allora, per il 
Teorema di Fermat, si ottiene
\begin{equation}\label{FJ4}
\begin{split}
 \frac{\partial \F_k}{\partial x_i}(x_k)&= \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_k)+ (x_{k,i}-x_{0,i})+\sum_{j=1}^M   kg^+_j(x_k)\frac{\partial g_j}{\partial x_i}(x_k)
\\
&+\sum_{j=1}^P kh_j(x_k) \frac{\partial h_j}{\partial x_i}(x_k)=0,\qquad  i=1,\dots,N
\end{split}
\end{equation}
Definiamo  $L^k,\,\lambda^k_0\in\RR$, $\lambda^k\in\RR^M$, $\mu^k\in\RR^P$ 


CONTINUARE SEGUENDO IL PDF su Appunti
\end{proof}
\end{document}
