Sia f una funzione (localmente sommabile cioè sommabile su ogni insieme limitato) essa definisce una distribuzione Tf nel modo seguente:
L'integrale esiste perché il dominio di integrazione di fatto è il supporto di non tutto R. Abbiamo già visto che:
4.2 Teorema. Se due funzioni definiscono la stessa distribuzione, allora:
Questo teorema permette di identificare f con Tf e scrivere
In particolare:
La distribuzione impulso nel punto a è così definita:
Come vedremo in seguito non può avere una definizione puntuale (i fisici la definiscono come la funzione sempre nulla che vale nel punto a ed il cui integrale è 1), ma può essere considerata il limite, nel senso della teoria delle distribuzioni, di successioni di funzioni.
Consideriamo la successione (generalizzata):
(si ottiene una successione
ponendo, ad esempio, ).
Si ha
(avendo posto cioè ). Se
= .
Il passaggio al limite si può fare sotto il segno di integrale per il teorema di Lebesgue (è infatti limitata).
Se
risulta come è noto
.
Se e
(avendo posto ).
Il primo integrale converge a zero per il lemma di Riemann-Lebesgue, essendo regolare anche in x = 0.