Non tutte le distribuzioni di D'(R) sono definite nello spazio di funzioni test S(R). Ad esempio non appartiene a S'(R) pur essendo una distribuzione (funzione localmente sommabile). Infatti presa in S si ha :
e l'integrale a secondo membro ovviamente non è finito.
Le distribuzioni che sono definite su S (R) prendono il nome di distribuzioni temperate ovvero a crescenza lenta. Indicheremo con S'(R) l'insieme delle distribuzioni temperate.
Per definire in S' la trasformata di Fourier consideriamo preliminarmente il caso di due funzioni Si ha:
,
essendo lecito scambiare gli integrali si ha
,
cioè:
.
Useremo questa formula per definire la di distribuzioni temperate avendo dimostrato che:
cioè sono entrambe funzioni test a decrescenza rapida.
19.2 Definizione. Per
diremo che la trasformata di Fourier della distribuzione temperata
T è definita da: